Sistema di equazioni determinato
Un sistema di equazioni è determinato se ammette una soluzione o un numero finito di soluzioni.
In particolar modo un sistema lineare (1° grado)
$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$
ammette una soluzione se il rapporto tra i coefficienti delle variabili x e y delle due equazioni è diverso
$$ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $$
Quindi, per capire se un sistema lineare è determinato basta fare questa semplice verifica.
Nota. Se i rapporti a1/a2 = b1/b2, le rette avrebbero lo stesso coefficiente angolare a1/b1 = a2/b2 ossia la stessa inclinazione. Questo accade quando le rette sono parallele (nessuna soluzione in comune) o coincidenti (infinite soluzioni in comune). In entrambi i casi il sistema non è determinato.
Un esempio pratico
Devo capire se questo sistema lineare è determinato
$$ \begin{cases} 2x + 3y = 4 \\ \\ 3x - 4y = 6 \end{cases} $$
Calcolo il rapporto tra i coefficienti delle variabili x e y
$$ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $$
Sapendo che i coefficienti delle variabili x e y sono a1=2, b1=3, a2=3, b2=-4
$$ \frac{2}{3} \ne \frac{3}{-4} $$
Il rapporto tra i coefficienti delle variabili x e y è diverso
Pertanto, il sistema è determinato ossia ammette una soluzione.
Verifica. Utilizzo il metodo grafico per verificare se il sistema di equazioni lineari ammette una soluzione. Le rette delle due equazioni si intersecano in un punto P(2;0). Quindi, il sistema ammette una soluzione.
La dimostrazione
Un sistema di equazioni di 1° grado (lineare) con due variabili indipendenti x e y posso rappresentarlo sul piano cartesiano.
$$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$
Ogni equazione lineare del sistema individua una retta.
Nota. I punti della retta di un'equazione sono i valori (x;y) che soddisfano l'equazione.
Dal punto di vista grafico la soluzione del sistema di equazioni lineari coincide con il punto di intersezione delle rette.
Nel punto di intersezione S(x;y) il sistema è risolto perché tutte le equazioni del sistema lineare sono soddisfatte.
Di conseguenza, un sistema di 1° grado con due variabili ammette una soluzione soltanto quando le rette hanno un coefficiente angolare diverso ossia quando hanno una diversa inclinazione (pendenza).
Spiegazione. Quando le rette hanno lo stesso coefficiente angolare il sistema non è determinato perché le rette delle equazioni sono parallele o coincidenti tra loro. Se le rette sono parallele non hanno punti in comune, quindi il sistema non ha soluzioni. In questo caso il sistema è impossibile.
Se invece le rette sono coincidenti hanno infiniti punti in comune, in questo caso il sistema è indeterminato.
Scrivo le equazioni del sistema in forma esplicita
$$ \begin{cases} y = -\frac{a_1}{b_1} x + \frac{c_1}{b_1} \\ \\ y = -\frac{a_2}{b_2} x + \frac{c_2}{b_2} \end{cases} $$
Le due rette hanno coefficienti angolari diversi quando -a1/b1 è diverso da -a2/b2
$$ -\frac{a_1}{b_1} \ne -\frac{a_2}{b_2} $$
Per la proprietà invariantiva moltiplico entrambi i membri per -1
$$ (-1) \cdot -\frac{a_1}{b_1} \ne -\frac{a_2}{b_2} \cdot (-1) $$
$$ \frac{a_1}{b_1} \ne \frac{a_2}{b_2} $$
Poi moltiplico entrambi i membri dell'equazione per b1/a2 e semplifico
$$ \frac{a_1}{b_1} \cdot ( \frac{b_1}{a_2} ) \ne \frac{a_2}{b_2} \cdot ( \frac{b_1}{a_2} ) $$
$$ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $$
Pertanto, se il coefficiente angolare delle rette è diverso, anche il rapporto tra i coefficienti della x e della y delle due equazioni deve essere diverso
$$ \frac{a_1}{a_2} \ne \frac{b_1}{b_2} $$
E' quello che volevo dimostrare.
Nota. In alcuni testi la stessa condizione è scritta in varie forme algebriche equivalenti. Ad esempio $$ a_1 b_2 \ne a_2 b_1 $$ oppure $$ a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0 $$ Dal punto di vista geometrico il significato è sempre lo stesso.
E così via.
