La diagonale del quadrato
La lunghezza della diagonale (d) di un quadrato è uguale alla lunghezza di un lato (l) moltiplicata per la radice quadrata di 2 $$ d = l \cdot \sqrt{2} $$
Il rapporto tra la diagonale e il lato è costante in ogni quadrato, indipendentemente dalle dimensioni dei suoi lati.
$$ \frac{d}{l} = \sqrt{2} $$
Questo rende molto semplice conoscere la lunghezza della diagonale a partire dal lato del quadrato, o viceversa.
Un esempio
Considero un quadrato con lato di lunghezza 4.
$$ l = 4 $$
Quindi la sua diagonale è
$$ d = l \cdot \sqrt{2} $$
$$ d = 4 \cdot \sqrt{2} $$
$$ d = 5.66 $$
La lunghezza della diagonale del quadrato è circa 5.66.
La dimostrazione
La dimostrazione si ottiene usando il teorema di Pitagora.
La diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli.
Ogni triangolo ha come cateti i lati del quadrato (l) e come ipotenusa la diagonale (d) del quadrato.
Il teorema di Pitagora stabilisce che in un triangolo rettangolo, il quadrato dell'ipotenusa, il lato opposto all'angolo retto, è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati.
$$ d^2 = l^2 + l^2 $$
Quindi, semplificando diventa
$$ d^2 = 2 \cdot l^2 $$
Per la proprietà invariantiva dell'equazione, calcolo la radice quadrata in entrambi i membri e semplifico
$$ \sqrt{ d^2 } = \sqrt{ 2 \cdot l^2 } $$
$$ d = l \cdot \sqrt{2} $$
In questo modo ottengo la formula che volevo dimostrare.
Osservazioni
Alcune osservazioni e note a margine sulla diagonale del quadrato
- La diagonale e il lato del quadrato sono grandezze incommensurabili
La diagonale e il lato del quadrato non sono grandezze commensurabili, ovvero non hanno un sottomultiplo in comune.Dimostrazione. Considero un quadrato ABCD
Per assurdo ipotizzo che il lato AB e la diagonale AC del quadrato siano grandezze commensurabili. Questo implica che esista un sottomultiplo EF in comune compreso m volte nella diagonale AC e n volte nel lato AB del quadrato. $$ \overline{AC} = m \cdot \overline{EF} $$ $$ \overline{AB} = n \cdot \overline{EF} $$Per il teorema di Pitagora nel triangolo rettangolo ABC il quadrato dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti $$ \overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 $$ In un quadrato tutti i lati sono congruenti, quindi AB=BC $$ \overline{AC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AB}^2 $$ $$ \overline{AC}^2 = 2 \cdot \overline{AB}^2 $$ Sostituisco AC=m·EF e AB=n·EF $$ (m \cdot \overline{EF})^2 = 2 \cdot (n \cdot \overline{EF})^2 $$ $$ m^2 \cdot \overline{EF}^2 = 2 \cdot n^2 \cdot \overline{EF}^2 $$ Semplifico eliminando EF2 da entrambi i membri $$ m^2 = 2 \cdot n^2 $$ Dove m e n sono due numeri interi. Tuttavia, questa equazione non ha soluzioni perché i due membri dell'equazione sono uguali, quindi dovrebbero essere scomponibili negli stessi fattori primi. In questo caso, però, nel membro di destra c'è un fattore 2 in più rispetto al membro di sinistra. Quindi, l'equazione non ha soluzioni con n≠0, ovvero non esiste una coppia di numeri interi non nulli (m,n) tale che m2=2n2. Poiché siamo arrivati a una contraddizione, l'assunzione iniziale che la diagonale e il lato del quadrato siano grandezze commensurabili deve essere falsa. Non esiste un sottomultiplo in comune. Pertanto, è vero il suo contrario, ovvero la diagonale e il lato del quadrato sono grandezze incommensurabili.
E così via.
