Funzioni dispari
Cosa sono le funzioni dispari
Una funzione è detta funzione dispari se per qualunque x del suo dominio vale f(−x)=−f(x) ∀ x ∈D
Il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all'origine degli assi, perché per ogni punto P(x,y) esiste un punto opposto P(-x,-y).
Come riconoscere se una funzione è dispari?
Ci sono due modi per capirlo
- Dal punto di vista analitico devo il valore della funzione f(-x) rispetto al valore opposto -x e confrontarlo con il valore -f(x). Se i valori coincidono, la funzione è dispari. f(−x)=−f(x)
Esempio. Considero la funzione f(x)=x3. Sostituisco la x con il suo opposto -x e verifico se ottengo la funzione -f(x). f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x) L'espressione f(-x) coincide con -f(x). Quindi, la funzione è dispari.
- Dal punto di vista grafico rifletto il grafico della funzione in verticale rispetto al semiasse negativo delle x, se i due grafici g(x) e f(x) sono simmetrici rispetto all'asse y allora la funzione è dispari.
Nota. Se una funzione non è dispari, non è detto che sia pari. E viceversa. Ad esempio, la funzione f(x)=x+x2 non è né dispari f(−x)=(−x)+(−x)2=−x+x2≠−f(x)=−x−x2 né pari. f(−x)=(−x)+(−x)2=−x+x2≠f(x)=x+x2
Un esempio pratico
Un esempio di funzione dispari è la funzione seno
Per qualunque valore x del dominio della funzione seno vale la relazione f(-x)=-f(x)
Nota. Ad esempio, in x=1 la funzione seno è sin(1)=0.84. Se calcolo la funzione rispetto a -1 ottengo sin(1)=0.84. E' lo stesso valore che ottengo quando calcolo -sin(x)=-0.84. Quindi, f(-x)=-f(x).
Esempio 2
Un altro esempio di funzione dispari è la funzione x3.
Per qualunque valore x del dominio della funzione vale la relazione f(-x)=-f(x).
Nota. In generale, se una funzione ha soltanto potenze di x con esponente dispari, allora la funzione è dispari
Esempio 3
Devo verificare analiticamente se questa funzione è dispari
f(x)=x2+x
Sostituisco la x con il suo opposto -x nell'espressione della funzione
f(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x
Il risultato è diverso dall'opposto della funzione -f(x)
−f(x)=−(x2+x)=−x2−x
Quindi la funzione non è una funzione dispari.
Nota. La funzione f(x)=x2+x non è nemmeno una funzione pari perché non è simmetrica rispetto all'asse y.
E così via.
