Come scrivere un equazione di 2 grado a partire dalle soluzioni
In un'equazione di secondo grado in forma normale ax2+bx+c=0 con il primo coefficiente uguale a uno (a=1) e discriminante non negativo Δ≥0 $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ il secondo coefficiente è uguale alla somma delle radici cambiata di segno b=-(x1+x2) $$ b=-(x_1+x_2) $$ mentre il termine noto è uguale al prodotto delle radici c=(x1·x2) $$ c = x_1 \cdot x_2 $$
Pertanto, un'equazione di 2° posso riscriverla in questa forma equivalente
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
Sapendo che a=1, b=-(x1+x2) e c=(x1·x2)
$$ x^2 - (x_1+x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0 $$
Considero s=x1+x2 la somma delle radici e p=x1x2 il prodotto delle radici
$$ x^2 - sx + p = 0 $$
A cosa serve ? Mi permette di scrivere l'equazione di 2° grado a partire dalle soluzioni (radici). In pratica, è la formula inversa della formula risolutiva. A partire dalle radici x1 e x2 mi permette di trovare i coefficienti a,b,c dell'equazione di secondo grado.
Un esempio pratico
Devo trovare un'equazione di 2° grado sapendo che le sue radici sono x1=-1 e x2=3
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
I coefficienti dell'equazione non li conosco ancora.
Considero il primo coefficiente uguale a uno a=1
$$ x^2 + bx + c = 0 $$
Calcolo il secondo coefficiente (b) dell'equazione sapendo che è uguale alla somma delle radici cambiata di segno b=-(x1+x2)
$$ x^2 -(x_1+x_2) \cdot x + c = 0 $$
In questo caso le radici già le conosco, sono x1=-1 e x2=3
$$ x^2 -(-1+3) \cdot x + c = 0 $$
$$ x^2 -2x + c = 0 $$
Infine, calcolo il termine noto (c) dell'equazione sapendo che è uguale al prodotto delle radici c=x1·x2
$$ x^2 -2x + (x_1 \cdot x_2) = 0 $$
Le radici dell'equazione sono x1=-1 e x2=3
$$ x^2 -2x + (-1 \cdot 3) = 0 $$
$$ x^2 -2x -3 = 0 $$
Ho trovato l'equazione di 2° grado scritta in forma normale che ha due soluzioni distinte uguali a x1=-1 e x2=3
Verifica. Calcolo le soluzioni dell'equazione di 2° grado $$ x^2 -2x -3 = 0 $$ usando la formula di risoluzione $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ Sapendo che a=1, b=-2, c=-3 $$ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4(1)(-3)}}{2(1)} $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{4+12}}{2} $$ $$ x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} $$ $$ x = \frac{2 \pm 4}{2} $$ Applico la proprietà invariantiva delle frazioni dividendo numeratore e denominatore per due. $$ x = 1 \pm 2 = \begin{cases} x_1 = 1 - 2 = -1 \\ \\ x_2 = 1 + 2 = 3 \end{cases} $$ L'equazione ha due soluzioni (radici) pari a x1=-1 e x2=3. Il risultato è corretto.
La dimostrazione
Considero un'equazione di 2° generale scritta in forma normale.
$$ ax^2 + bx +c = 0$$
Per ipotesi iniziale il discriminante è non negativo Δ≥0
Quindi, l'equazione ha due soluzioni reali x1 e x2 distinte o coincidenti.
$$ Δ = b^2-4ac \ge 0 $$
Per la proprietà invariantiva delle equazioni divido entrambi i membri dell'equazione per il coefficiente a
$$ \frac{ax^2 + bx +c}{a} = \frac{0}{a}$$
$$ \frac{ax^2}{a} + \frac{bx}{a} +\frac{c}{a} = 0$$
$$ x^2 + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a} = 0$$
Riscrivo il secondo coefficiente in questa forma equivalente
$$ x^2 - ( - \frac{b}{a} ) x +\frac{c}{a} = 0$$
Sapendo che la somma delle radici di un'equazione di 2° è uguale al rapporto tra i coefficienti b/a cambiato di segno x1+x2=-b/a
$$ x^2 - ( x_1+x_2 ) x +\frac{c}{a} = 0$$
Sapendo che il prodotto delle radici di un'equazione di 2° è uguale al rapporto tra i coefficienti c/a ossia x1·x2=c/a
$$ x^2 - ( x_1+x_2 ) x + (x_1 \cdot x_2) = 0 $$
Questo dimostra la validità generale della formula inversa che lega le soluzioni di un'equazione di 2° ai coefficienti a,b,c
E così via.
