Prodotto delle radici di una equazione di secondo grado
Il prodotto delle radici di un'equazione di 2° grado ax2+bx+c con discriminante non negativo Δ≥0 è uguale al rapporto tra il termine noto (c) e il coefficiente (a) dell'incognita x2. $$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$
A cosa serve questa relazione?
Se conosco una radice dell'equazione di 2° posso ricavare l'altra senza dover risolvere l'equazione
$$ x_1 = \frac{c}{a \cdot x_2} $$
$$ x_2 = \frac{c}{a \cdot x_1} $$
Esempio. In un'equazione di 2° grado $$ x^2 +4x + 3 = 0 $$ Se conosco una radice x1=-1 dell'equazione posso ricavare l'altra radice x2 usando i coefficienti a=1 c=3 dell'equazione. $$ x_2 = \frac{c}{a \cdot x_1} = \frac{3}{1 \cdot (-1)} = -3 $$ Questa regola è particolarmente utile se una radice è banale e visibile a colpo d'occhio, oppure, per qualsiasi altra ragione è già nota.
Un esempio pratico
Considero l'equazione di 2° grado
$$ x^2 +4x + 3 = 0 $$
Il discriminante Δ dell'equazione è non negativo
$$ \Delta = b^2-4ac = 4^2-4(1)(3) = 16 - 12 = 4 $$
Quindi, il prodotto delle due radici x1·x2 è uguale al rapporto c/a
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$
Sapendo che c=3 e a=1
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{3}{1} = 3 $$
Verifica. Calcolo le radici dell'equazione $$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2-4(1)(3)}}{2} $$ $$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16-12}}{2} $$ $$ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} $$ $$ x = \frac{-4 \pm 2}{2} $$ $$ x = \begin{cases} x_1 = \frac{-4-2}{2} = -3 \\ \\ x_2 = \frac{-4+2}{2} = -1 \end{cases} $$ Quindi, sapendo che x1=-3 e x2=-1, il prodotto x1·x2 è uguale a 3 $$ x_1 \cdot x_2 = (-3) \cdot (-1) = 3 $$ Il risultato finale è uguale al rapporto tra i coefficienti c/a dell'equazione di 2°. $$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} =3 $$ Pertanto, conoscendo x1=-3 posso ricavare x2 senza risolvere l'equazione $$ x_2 = \frac{c}{a \cdot x_1} = \frac{3}{-3} = -1 $$ Allo stesso modo, conoscendo x2=-1 posso ricavare x1 $$ x_1 = \frac{c}{a \cdot x_2} = \frac{3}{-1} = - 3$$
La dimostrazione
Considero un'equazione di 2° in generale
$$ ax^2 + bx^ + c = 0 $$
Per ipotesi il discriminante Δ≥0 è non negativo
$$ \Delta = b^2 - 4ac \ge 0 $$
Quindi, l'equazione ha due soluzioni (radici) reali distinte x1 e x2
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
$$ x = \begin{cases} x_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \\ x_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{cases} $$
Calcolo il prodotto delle due radici x1·x2
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \cdot \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b - \sqrt{b^2-4ac}) \cdot ( -b + \sqrt{b^2-4ac} )}{2a \cdot 2a} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - b \sqrt{b^2-4ac} + b \sqrt{b^2-4ac} - ( \sqrt{b^2-4ac} )^2}{4a^2} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - ( \sqrt{b^2-4ac} )^2}{4a^2} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{b^2 - b^2 + 4ac }{4a^2} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{4ac }{4a^2} $$
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{c }{a} $$
La dimostrazione termina qui
E così via.
