Matrici unitarie
Una matrice unitaria è una matrice complessa $ U $ che soddisfa la condizione fondamentale $$ U^{\dagger} U = U U^{\dagger} = I $$ Dove $ U^{\dagger} $ indica la trasposta coniugata di $ U $ e $ I $ è la matrice identità.
In altre parole, il prodotto tra una matrice unitaria e la sua trasposta coniugata è la matrice identità ( $ I $ ).
Le matrici unitarie si calcolano e si definiscono nel campo complesso, ma nel caso reale il concetto equivalente è la matrice ortogonale.
Un esempio pratico
Considero la matrice complessa
$$ U = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
La coniugata trasposta della matrice è
$$ U^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Come si calcola la coniugata trasposta? Per calcolare la coniugata trasposta di una matrice $$
U = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Scambio righe e colonne. In questo modo ottengo la trasposta. Poiché, in questo caso, la matrice è diagonale (ci sono elementi solo sulla diagonale principale, zeri altrove), la matrice non cambia: $$
U^T = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Poi calcolo il coniugato complesso. Cambio il segno della parte immaginaria di ogni elemento. Ad esempio, $ \overline{i} = -i $, $ \overline{1} = 1 $, $ \overline{0} = 0 $. $$ U^{\dagger} =
\begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Il prodotto riga per colonna tra le due matrici è la matrice identità:
$$ U^{\dagger}U = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-i)(i) & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 1 \cdot 1 \end{pmatrix} $$
$$ U^{\dagger}U = \begin{pmatrix} -i^2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I $$
Nei numeri complessi il quadrato dell'unità immaginaria è $ i^2 = -1 $, quindi $ -i^2 = -(-1) = 1 $
$$ U^{\dagger}U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I $$
Quindi la matrice $ U $ è unitaria.
I gruppi U e SU delle matrici unitarie
L’insieme di tutte le matrici unitarie $ U $ di ordine $ n $ forma un gruppo rispetto alla moltiplicazione matriciale, ovvero un gruppo moltiplicativo.
Quel gruppo si chiama gruppo unitario e si indica con $ U(n) $
$$ U(n) = \{ U \in \mathbb{C}^{n\times n} \mid U^{\dagger}U = I \} $$
Ogni elemento del gruppo $ U(n) $ è una matrice complessa $ n \times n $ che soddisfa la condizione di unitarietà.
Nota. Vuol dire che $ U(n) $ soddisfa le 4 proprietà dei gruppi:
- Chiusura: se $ U_1 $ e $ U_2 $ sono unitarie, anche il loro prodotto $ U_1 U_2 $ è una matrice unitaria, perché $ (U_1U_2)^{\dagger}(U_1U_2) = U_2^{\dagger}U_1^{\dagger}U_1U_2 = U_2^{\dagger}I U_2 = I $
- Elemento neutro: la matrice identità $ I_n $ è unitaria perché $ I^{\dagger}I = I $
- Elemento inverso: ogni matrice unitaria è invertibile, e la sua matrice inversa è $ U^{-1} = U^{\dagger} $. Quindi l’inverso di un elemento del gruppo $ U(n) $ appartiene ancora al gruppo.
- Associatività: questa proprietà è garantita perché la moltiplicazione tra matrici è sempre associativa.
Il gruppo speciale unitario $ SU(n) $ è il sottogruppo di matrici che appartengono a $ U(n) $ con il determinante uguale a 1.
$$ SU(n) = \{ U \in U(n) \mid \det(U) = 1 \} $$
Si parla di gruppo "speciale" perché impone determinante unitario.
E così via.
