Gruppi
Cos'è un gruppo?
- Un gruppo è una struttura algebrica (G,*) composta da
- un insieme non vuoto (G≠Ø)
- un'operazione binaria interna $$ *: G×G \rightarrow G $$ che rispetta queste tre proprietà
- soddisfa la proprietà associativa $$ (a*b)*c = a*(b*c) $$
- ammette l'esistenza di un elemento neutro (e) nell'insieme G $$ a*e=e*a=a \ \ \forall \ a \in G $$
- ammette l'esistenza di un elemento inverso per ogni elemento dell'insieme $$ a*(a)^{-1}=(a)^{-1}*a= e \ \ \forall \ a \in G $$
In altre parole, nell'algebra astratta un gruppo è un monoide (S,*) che include un elemento inverso nell'insieme S.
Il numero di elementi |G| dell'insieme G determina l'ordine del gruppo.
In base al numero di elementi un gruppo si dice
- gruppo finito o di ordine finito (finite order)
se il gruppo ha un numero finito di elementi. - gruppo infinito (infinite order)
se il gruppo ha infiniti elementi
I gruppi sono l'elemento fondamentale della teoria dei gruppi e dell'algebra astratta, uno dei più recenti campi di studio della matematica.
Un esempio pratico
Esempio 1
Un esempio di gruppo è l'insieme dei numeri interi (Z) rispetto all'addizione (+)
- L'addizione è un'operazione binaria (a+b) ed interna all'insieme Z. La somma di due numeri interi qualsiasi è un altro numero intero. $$ a+b = c \in Z \ \ \ \ \ \forall \ a,b \in Z $$
- L'addizione soddisfa la proprietà associativa. Presi tre interi qualsiasi a, b, c ∈ Z vale la relazione $$ (a + b) + c = a + (b + c) \ \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in Z $$
- Nell'insieme Z esiste l'elemento neutro 0 ∈ Z. La somma tra zero e un qualsiasi numero intero è il numero intero stesso. $$ a+0=0+a=a \ \ \ \ \ \forall \ a \in Z $$
- Ogni numero intero a∈Z ha un elemento inverso (-a)∈Z rispetto all'addizione. E' l'elemento opposto. La somma tra qualsiasi numero intero e il suo opposto è sempre uguale a zero. $$ a+(-a)=(-a)+a=0 \ \ \ \ \ \forall \ a \in Z $$
In conclusione (Z, +) è un gruppo additivo.
Esempio 2
L'insieme dei numeri interi (Z) non è invece un gruppo rispetto alla moltiplicazione (·) perché non tutti gli elementi hanno l'elemento inverso della moltiplicazione.
Ad esempio, l'inverso moltiplicativo di 2 è 1/2 che non è un numero intero.
$$ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 $$
Nota. In questo caso l'elemento inverso della moltiplicazione è 1/2. L'insieme dei numeri interi Z rispetto alla moltiplicazione soddisfa diverse proprietà dei gruppi (operazione binaria chiusa, proprietà associativa, elemento neutro) ma non tutte. Non esiste l'elemento opposto dei numeri interi rispetto alla moltiplicazione. Pertanto, l'insieme Z non forma un gruppo con la moltiplicazione. Per vedere l'esercizio completo.
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