La matrice ortogonale

Una matrice A è detta ortogonale quando la sua matrice inversa A-1 è uguale alla matrice trasposta AT.

matrice ortogonale

L'insieme delle matrici ortogonali di ordine n è indicato con il simbolo On.

Nota. Soltanto le matrici invertibili possono essere ortogonali. Quindi, le matrici ortogonali sono un sottoinsieme On dell'insieme GLn(R) delle matrici quadrate invertibili di ordine n.

Nelle matrici ortogonali il prodotto della matrice A per la matrice trasposta AT è uguale alla matrice identità In di ordine n.

il corollario delle matrici ortogonali

Dimostrazione

La dimostrazione è molto semplice, una delle proprietà delle matrici invertibili è la seguente:

la proprietà delle matrici invertibili

Nelle matrici ortogonali la matrice inversa è uguale alla matrice trasposta ( A-1=AT ).

Quindi si può affermare che AAT=In.

esempio di matrice ortogonale

    Un esempio pratico

    La seguente matrice quadrata è una matrice ortogonale.

    esempio di matrice ortogonale

    Per averne la prova è sufficiente moltiplicare A per la sua matrice trasposta AT.

    Il prodotto di A·AT è uguale alla matrice identità I2.

    il prodotto della matrice per la sua trasposta dà come risultato una matrice unitaria

    Da ciò si deduce che AT=A-1.

    la matrice trasposta è uguale alla matrice inversa

    Perché? E' una proprietà delle matrici inverse. Il prodotto di una matrice invertibile (A) per la sua matrice inversa (A-1) dà come risultato una matrice unitaria I. Quindi, se AAT=I e AA-1=I allora AT=A-1.

    Questo dimostra che si tratta effettivamente di una matrice ortogonale.

     


     

    Segnalami un errore, un refuso o un suggerimento per migliorare gli appunti

    FacebookTwitterLinkedinLinkedin
    knowledge base