La matrice ortogonale
Una matrice A è detta ortogonale quando la sua matrice inversa A-1 è uguale alla matrice trasposta AT.
L'insieme delle matrici ortogonali di ordine n è indicato con il simbolo On.
Nota. Soltanto le matrici invertibili possono essere ortogonali. Quindi, le matrici ortogonali sono un sottoinsieme On dell'insieme GLn(R) delle matrici quadrate invertibili di ordine n.
Nelle matrici ortogonali il prodotto della matrice A per la matrice trasposta AT è uguale alla matrice identità In di ordine n.
Dimostrazione
La dimostrazione è molto semplice, una delle proprietà delle matrici invertibili è la seguente:
Nelle matrici ortogonali la matrice inversa è uguale alla matrice trasposta ( A-1=AT ).
Quindi si può affermare che AAT=In.
Un esempio pratico
La seguente matrice quadrata è una matrice ortogonale.
Per averne la prova è sufficiente moltiplicare A per la sua matrice trasposta AT.
Il prodotto di A·AT è uguale alla matrice identità I2.
Da ciò si deduce che AT=A-1.
Perché? E' una proprietà delle matrici inverse. Il prodotto di una matrice invertibile (A) per la sua matrice inversa (A-1) dà come risultato una matrice unitaria I. Quindi, se AAT=I e AA-1=I allora AT=A-1.
Questo dimostra che si tratta effettivamente di una matrice ortogonale.
