Logaritmo di una matrice
Se una matrice quadrata \( A \) è diagonalizzabile, ossia esiste una matrice \( P \) invertibile e una matrice diagonale \( D \) tale che: \[ A = P D P^{-1} \] allora il logaritmo della matrice può essere calcolato come: \[ \log(A) = P \log(D) P^{-1} \] dove \( \log(D) \) è la matrice diagonale ottenuta applicando il logaritmo agli autovalori di \( D \).
Nel caso particolare in cui una matrice \( D \) è già diagonale, il calcolo del logaritmo della matrice diventa molto più semplice.
Ad esempio, se $ D = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} $
$$ \log(D) = \log \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \log(a) & 0 \\ 0 & \log(b) \end{pmatrix}$$
In generale, il logaritmo matriciale implica il calcolo di una matrice che, elevata a una potenza specifica, restituisca la matrice iniziale.
Ad esempio, data una matrice \( A \), il logaritmo matriciale è una matrice \( B \) tale che: $$ e^B = A $$ dove \( e^B \) è l'esponenziale della matrice \( B \). Vale la pena ricordare che Il logaritmo di una matrice non è unico in generale, poiché l'esponenziale matriciale non è iniettivo, esistono più matrici \( B \) tali che \( e^B = A \). Il logaritmo principale (o principale ramo del logaritmo) è quello in cui gli autovalori di B hanno parte immaginaria compresa tra −π e π.
I metodi e le condizioni per il calcolo
Il logaritmo di una matrice è un'operazione ben definita per una matrice quadrata \( A \), ma richiede che la matrice \( A \) soddisfi determinate condizioni.
- Invertibilità: La matrice \( A \) deve essere invertibile (determinante non nullo).
- Spettro: Tutti gli autovalori di \( A \) devono avere parte reale positiva (in modo che il logaritmo sia ben definito).
Il logaritmo di una matrice può essere calcolato in vari modi, a seconda delle sue proprietà. Ecco i metodi principali:
- Diagonalizzazione
Questo metodo è applicabile se \( A \) è diagonalizzabile e gli autovalori hanno parte reale positiva. Il metodo della diagonalizzazione per calcolare il logaritmo di una matrice consiste nei seguenti passaggi:- Diagonalizzo la matrice \( A \): trovo gli autovalori e gli autovettori di \( A \) e costruisci \( P \) (matrice degli autovettori) e \( D \) (matrice diagonale degli autovalori), tali che \( A = P D P^{-1} \).
- Calcolo il logaritmo della matrice diagonale degli autovalori \( D \): applico il logaritmo agli elementi diagonali di \( D \), ottenendo \( \log(D) \).
- Calcolo il logaritmo della matrice \(A \): uso la relazione \( \log(A) = P \log(D) P^{-1} \) per calcolare il logaritmo della matrice iniziale.
- Sviluppo in serie di Taylor
Se \( A \) è sufficientemente vicina alla matrice identità \( I \), il logaritmo può essere calcolato usando lo sviluppo in serie: $$ \log(A) = (A - I) - \frac{(A - I)^2}{2} + \frac{(A - I)^3}{3} - \dots $$ - Forma di Jordan
Se \( A \) non è diagonalizzabile ma ha una forma di Jordan, si può calcolare il logaritmo usando \( A = P J P^{-1} \), dove \( J \) è la matrice di Jordan. In questo caso, il calcolo è più complicato e richiede l'uso di polinomi matriciali.
Un esempio pratico
Considero la matrice quadrata A
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} $$
Non è una matrice diagonale, quindi devo prima diagonalizzarla.
Calcolo gli autovalori di \( A \).
Gli autovalori si trovano risolvendo l'equazione caratteristica:
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
Dove \( A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \).
Calcolo il determinante:
$$ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda) \cdot (3 - \lambda) - 0 \cdot 2 $$
$$ \det(A - \lambda I) = (1 - \lambda) \cdot (3 - \lambda) $$
Quindi, l'equazione caratteristica della matrice è
$$ (1 - \lambda) \cdot (3 - \lambda) = 0 $$
Le soluzioni dell'equazione caratteristica sono già evidenti, basta applicare la regola dell'annullamento del prodotto.
$$ \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3 $$
A questo punto calcolo gli autovettori di \( A \)
- Per \( \lambda_1 = 1 \) trovo gli autovettori sostituendo $ \lambda=1 $ in $$ (A- \lambda \cdot I) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 $$$$ \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 $$$$ \begin{pmatrix} 1 - 1 & 0 \\ 2 & 3 - 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 $$$$ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 $$ Il sistema di equazioni da risolvere è: $$ \begin{cases} 0 \cdot x + 0 \cdot y = 0 \\ 2x + 2y = 0 \end{cases} $$$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ 2x = - 2y \end{cases} $$$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ x = - y \end{cases} $$ Quindi, un autovettore è: $$ v_1 = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix} $$ Ad esempio $$ v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $$
- Per \( \lambda_2 = 3 \) trovo gli autovettori sostituendo $ \lambda=3 $ in $$ (A- \lambda \cdot I) \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 $$$$ \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 0 \\ 2 & 3 - \lambda \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 $$$$ \begin{pmatrix} 1 - 3 & 0 \\ 2 & 3 - 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 $$$$ \begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = 0 $$ Il sistema di equazioni da risolvere è: $$ \begin{cases} -2x + 0 \cdot y = 0, \\ 2x + 0 \cdot y = 0 \end{cases} $$$$ \begin{cases} -2x = 0, \\ 2x = 0 \end{cases} $$ Da \( -2x = 0 \), otteniamo \( x = 0 \). Un autovettore è: $$ v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ y \end{pmatrix} $$ Ad esempio $$ v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$
La matrice \( P \) di autovettori è la seguente:
$$ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$
La matrice diagonale degli autovalori \( D \) è:
$$ D = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} $$
$$ D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$
Se la matrice A è diagonalizzabile, posso scriverla in questa forma
$$ A = P \cdot D \cdot P^{-1} $$
A questo punto, Il logaritmo si calcola come:
$$ \log(A) = P \cdot \log(D) \cdot P^{-1} $$
Sostituisco le matrici P e D
$$ \log(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \log \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot P^{-1} $$
Sapendo che \( D \) è una matrice diagonale, il logaritmo \( \log(D) \) si calcola facilmente
$$ \log(D) = \log \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \log(1) & 0 \\ 0 & \log(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \log(3) \end{pmatrix} $$
Quindi, il logaritmo di A è il prodotto di tre matrici quadrate.
$$ \log(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \log(3) \end{pmatrix} P^{-1} $$
Calcolo e sostituisco la matrice inversa di \( P \) ossia $ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $
$$ \log(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \log(3) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ \log(A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \log(3) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ \log(A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \log(3) & \log(3) \end{pmatrix} $$
Quindi, il logaritmo della matrice è
$$ \log(A) = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ \log(3) & \log(3) \end{pmatrix} $$
E così via.
