Autovettori

Un vettore \( \mathbf{v} \) non nullo è un autovettore della matrice quadrata \( A \) se esiste uno scalare \( \lambda \in \mathbb{R} \) (o \( \mathbb{C} \)) tale che: $$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$ Dove \( \lambda \) è detto autovalore associato all'autovettore \( \mathbf{v} \).

L'equazione esprime il fatto che l'azione di \( A \) su \( \mathbf{v} \) si riduce a una semplice moltiplicazione per lo scalare \( \lambda \).

Quindi, il vettore non cambia direzione dopo l'applicazione, può solo essere dilatato, compresso o invertito.

Come calcolare gli autovettori

Per trovare gli autovettori di una matrice quadrata \( A \) di ordine \( n \) risolvo il problema caratteristico:

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$

Dove \( I \) è la matrice identità di dimensione \( n \).

Le soluzioni del problema sono gli autovalori \( \lambda \) e si trovano risolvendo l'equazione caratteristica:

$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

Per ogni autovalore \( \lambda \), calcolo lo spazio nullo di \( A - \lambda I \), ovvero:

$$ \ker(A - \lambda I) $$

Questo mi fornisce una base per trovare gli autovettori corrispondenti a \( \lambda \).

Un esempio pratico

Considero la matrice

$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$

L'equazione caratteristica è:

$$ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0 $$

Gli autovalori sono \( \lambda_1 = 3 \) e \( \lambda_2 = 1 \).

A questo punto calcolo gli autovettori per ciascun autovalore.

1] Per \( \lambda_1 = 3 \)

Sostituisco $ \lambda=3 $ nella matrice

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} =  \begin{pmatrix} 2-3 & 1-0 \\ 1-0 & 2-3 \end{pmatrix}  $$

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} =  \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}  $$

Una volta aggiornata la matrice, risolvo il problema caratteristico

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 0 $$

Il sistema di equazioni associato all'equazione vettoriale è il seguente:

$$ \begin{cases} -x + y = 0 \\ \\ x - y = 0 \end{cases} $$

Risolvo il sistema

$$ \begin{cases} -x + y = 0 \\ \\ x  = y \end{cases} $$

Sostituisco x=y nella prima equazione

$$ \begin{cases} -(y) + y = 0 \\ \\ x  = y \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ \\ x  = y \end{cases} $$

La prima equazione del sistema è un'identità del tipo 0=0, quindi le soluzioni del sistema sono infinite $ x=y $.

$$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}  $$

Ad esempio, un autovettore di \( \lambda_1 = 3 \) è:

$$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}  $$

2] Per \( \lambda_2 = 1 \)

Sostituisco $ \lambda=1 $ nella matrice

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} -  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} =  \begin{pmatrix} 2-1 & 1-0 \\ 1-0 & 2-1 \end{pmatrix}  $$

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} =  \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}  $$

Una volta aggiornata la matrice, risolvo il problema caratteristico

$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 $$

Il sistema di equazioni associato all'equazione vettoriale è il seguente:

$$ \begin{cases} x + y = 0 \\ \\ x + y = 0 \end{cases} $$

Ora devo risolvere il sistema.

Poiché le equazioni sono uguali, le soluzioni coincidono con quelle dell'equazione $ x+ y = 0 $ ovvero $ x = -y $.

Anche in questo caso le soluzioni sono infinite.

$$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix}  $$

Ad esempio, un autovettore di \( \lambda_2 = 1 \) è:

$$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}  $$

3] Conclusione

In conclusione, gli autovettori della matrice sono i seguenti:

  • $ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}  $
  • $ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $

E così via

 


 

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