Autovettori
Un vettore \( \mathbf{v} \) non nullo è un autovettore della matrice quadrata \( A \) se esiste uno scalare \( \lambda \in \mathbb{R} \) (o \( \mathbb{C} \)) tale che: $$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$ Dove \( \lambda \) è detto autovalore associato all'autovettore \( \mathbf{v} \).
L'equazione esprime il fatto che l'azione di \( A \) su \( \mathbf{v} \) si riduce a una semplice moltiplicazione per lo scalare \( \lambda \).
Quindi, il vettore non cambia direzione dopo l'applicazione, può solo essere dilatato, compresso o invertito.
Come calcolare gli autovettori
Per trovare gli autovettori di una matrice quadrata \( A \) di ordine \( n \) risolvo il problema caratteristico:
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$
Dove \( I \) è la matrice identità di dimensione \( n \).
Le soluzioni del problema sono gli autovalori \( \lambda \) e si trovano risolvendo l'equazione caratteristica:
$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$
Per ogni autovalore \( \lambda \), calcolo lo spazio nullo di \( A - \lambda I \), ovvero:
$$ \ker(A - \lambda I) $$
Questo mi fornisce una base per trovare gli autovettori corrispondenti a \( \lambda \).
Un esempio pratico
Considero la matrice
$$ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $$
L'equazione caratteristica è:
$$ \det(A - \lambda I) = \det \begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = 0 $$
Gli autovalori sono \( \lambda_1 = 3 \) e \( \lambda_2 = 1 \).
A questo punto calcolo gli autovettori per ciascun autovalore.
1] Per \( \lambda_1 = 3 \)
Sostituisco $ \lambda=3 $ nella matrice
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2-3 & 1-0 \\ 1-0 & 2-3 \end{pmatrix} $$
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$
Una volta aggiornata la matrice, risolvo il problema caratteristico
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = 0 $$
Il sistema di equazioni associato all'equazione vettoriale è il seguente:
$$ \begin{cases} -x + y = 0 \\ \\ x - y = 0 \end{cases} $$
Risolvo il sistema
$$ \begin{cases} -x + y = 0 \\ \\ x = y \end{cases} $$
Sostituisco x=y nella prima equazione
$$ \begin{cases} -(y) + y = 0 \\ \\ x = y \end{cases} $$
$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ \\ x = y \end{cases} $$
La prima equazione del sistema è un'identità del tipo 0=0, quindi le soluzioni del sistema sono infinite $ x=y $.
$$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$
Ad esempio, un autovettore di \( \lambda_1 = 3 \) è:
$$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $$
2] Per \( \lambda_2 = 1 \)
Sostituisco $ \lambda=1 $ nella matrice
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2-1 & 1-0 \\ 1-0 & 2-1 \end{pmatrix} $$
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$
Una volta aggiornata la matrice, risolvo il problema caratteristico
$$ (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 0 $$
Il sistema di equazioni associato all'equazione vettoriale è il seguente:
$$ \begin{cases} x + y = 0 \\ \\ x + y = 0 \end{cases} $$
Ora devo risolvere il sistema.
Poiché le equazioni sono uguali, le soluzioni coincidono con quelle dell'equazione $ x+ y = 0 $ ovvero $ x = -y $.
Anche in questo caso le soluzioni sono infinite.
$$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} x \\ -y \end{bmatrix} $$
Ad esempio, un autovettore di \( \lambda_2 = 1 \) è:
$$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $$
3] Conclusione
In conclusione, gli autovettori della matrice sono i seguenti:
- $ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} $
- $ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} $
E così via
