La traccia della matrice

La traccia di una matrice quadrata A di ordine n è la somma dei suoi elementi sulla diagonale principale.

La formula per calcolare la traccia è la seguente:

Un esempio pratico

La seguente matrice quadrata è di ordine tre.

Gli elementi sulla diagonale principale sono 1, 5 e 9.

Per calcolare la traccia TR(A) sommo gli elementi tra loro.

Quindi, la traccia della matrice A è 15.

Le proprietà della traccia della matrice

La traccia di una matrice soddisfa le seguenti proprietà:

1. La traccia del prodotto di una matrice per uno scalare alfa TR(α·A) è uguale al prodotto tra lo scalare alfa e la traccia della matrice α·TR(A).
   
2. La somma delle tracce di due matrici TR(A)+TR(B) è uguale alla traccia della matrice somma TR(A+B).
   

   Nota. Queste due prime proprietà dimostrano che la traccia è una funzione lineare.

3. La matrice A e la matrice trasposta A^T hanno la stessa traccia.
   
4. La traccia del prodotto AB è uguale alla traccia del prodotto BA con l'ordine delle matrici invertito $$ TR(AB) = TR(BA) $$
5. La traccia del prodotto tra matrici TR(ABC) è invariante rispetto a una permutazione ciclica TR(BCA) e TR(CAB).
   

   Esempio di permutazione non ciclica. La traccia non è uguale, invece, in TR(ACB) o TR(CBA) perché non si tratta di una permutazione ciclica. In questi casi l'ordine dei fattori del prodotto tra le matrici ABC non è ottenuto facendo scorrere i fattori verso destra o sinistra.