La matrice

Una matrice è una tabella ordinata di elementi ai,j. Dove ai,j sono numeri reali e gli indici i,j sono numeri interi positivi che indicano per convenzione prima il numero di riga (i) e poi il numero di colonna (j).

Gli elementi possono essere indicati con la virgola (am,n) o senza la virgola (amn) tra gli indici.

le notazioni per rappresentare gli elementi della matrice

Nota. La notazione con la virgola evita le ambiguità quando gli indici superano la decina.

Altre notazioni sintetiche per indicare la matrice sono A(m,n) , Amxn o A=(amn).

le altre notazioni universali delle matrici

Il numero complessivo delle righe e delle colonne ( mxn ) è detto dimensione della matrice.

la dimensione della matrice

L'insieme di tutte le matrici di dimensione mxn con elementi reali ( matrici reali ) è indicato con la notazione Mm,n(R).

A cosa serve la matrice? Le matrici sono oggetti matematici usate soprattutto nell'algebra lineare per rappresentare e risolvere i sistemi lineari di m equazioni e n variabili.

Come rappresentare un sistema lineare con una matrice

Dato un sistema lineare A composto da m equazioni e n variabili

un esempio di sistema di equazioni lineari

il sistema lineare è sempre associabile a due matrici:

  1. La matrice dei coefficienti ( o matrice incompleta ) è una matrice di m righe e n colonne, in cui gli elementi sono i coefficienti amn delle equazioni nel sistema lineare.
    la matrice dei coefficienti
  2. La matrice completa ( o matrice orlata ) è una matrice di m righe e n+1 colonne, composta sia dai coefficienti amn che dai termini noti bm del sistema lineare.
    la matrice completa del sistema lineare

    Nota. In pratica la matrice completa è la matrice dei coefficienti con l'aggiunta della colonna dei termini noti.

Un esempio pratico

Questo sistema lineare è formato da due equazioni e tre variabili.

esempio di sistema lineare

La matrice dei coefficienti A è la seguente:

la matrice incompleta del sistema lineare

Nota. Nella seconda equazione del sistema (x1-4x2=6) non c'è la variabile x3. In questi casi si mette il valore zero nell'elemento corrispondente della matrice.

La matrice completa A|B del sistema è, invece, la seguente:

un esempio di matrice completa

Nota. Alla matrice dei coefficienti ho aggiunto semplicemente la colonna dei termini noti.

Quali sono i tipi di matrici

In base alla dimensione, al numero di righe e di colonne, si possono distinguere le seguenti tipologie di matrici:

  • La matrice rettangolare. Sono matrici con più righe (m>1) e colonne (n>0) in cui il numero di righe non eguaglia il numero delle colonne (m≠n). Da questa caratteristica deriva la sua forma rettangolare.
    esempi di matrici rettangolari
  • La matrice quadrata. Sono matrici con lo stesso numero di righe e colonne ( m=n ). Da questa caratteristica deriva la sua forma quadrata.
    esempio di matrice quadrata
  • La matrice riga. Sono matrici 1xn con una sola riga ( m=1 ).
    un esempio di matrice riga
  • La matrice colonna. Sono matrici mx1 con una sola colonna ( n=1 ).
    un esempio di matrice colonna
  • La matrice nulla. Sono matrici senza nessun elemento, senza righe ( m=0) e senza colonne ( n=0 ).



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