Integrale di una matrice

L'integrale di una matrice si calcola integrando ciascun elemento della matrice separatamente.

L'integrale della matrice \( A(t) \) di dimensioni \( m \times n \) dipendente da una variabile \( t \) è:

$$
\int A(t) \, dt = \begin{pmatrix}
\int a_{11}(t) \, dt & \dots & \int a_{1n}(t) \, dt \\
\int a_{21}(t) \, dt & \dots & \int a_{2n}(t) \, dt \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\int a_{m1}(t) \, dt & \dots & \int a_{mn}(t) \, dt
\end{pmatrix} $$

Ogni elemento \( a_{ij}(t) \) della matrice viene integrato come una funzione scalare.

Quindi, l'integrale risultante è una matrice delle stesse dimensioni \( m \times n \) di \( A(t) \), con ogni elemento corrispondente all'integrale dell'elemento originale.

    Un esempio pratico

    Considero la matrice \( A(t) \) dipendente da \( t \):

    $$ A(t) = \begin{pmatrix} 2t & t^2 \\ \sin(t) & e^t \end{pmatrix} $$

    Si tratta di una semplice matrice quadrata 2x2 con due righe e due colonne.

    Calcolo l'integrale di ciascun elemento rispetto a \( t \):

    • \( \int  a_{11} \ dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1 \)
    • \( \int  a_{12} \ dt = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C_2 \)
    • \( \int  a_{21} \ dt =   \int \sin(t) \, dt = -\cos(t) + C_3 \)
    • \( \int  a_{22} \ dt = \int e^t \, dt = e^t + C_4 \)

    Dove \( C_1, C_2, C_3, C_4 \) sono le costanti di integrazione di ciascun integrale. Non vanno considerate come un'unica costante.

    Quindi, l'integrale della matrice \( A(t) \) è:

    $$ \int A(t) \, dt = \begin{pmatrix} t^2 + C_1 & \frac{t^3}{3} + C_2 \\ -\cos(t) + C_3 & e^t + C_4 \end{pmatrix} $$

    E così via.

     

     


     

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