Integrale di una matrice
L'integrale di una matrice si calcola integrando ciascun elemento della matrice separatamente.
L'integrale della matrice \( A(t) \) di dimensioni \( m \times n \) dipendente da una variabile \( t \) è:
$$
\int A(t) \, dt = \begin{pmatrix}
\int a_{11}(t) \, dt & \dots & \int a_{1n}(t) \, dt \\
\int a_{21}(t) \, dt & \dots & \int a_{2n}(t) \, dt \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\int a_{m1}(t) \, dt & \dots & \int a_{mn}(t) \, dt
\end{pmatrix} $$
Ogni elemento \( a_{ij}(t) \) della matrice viene integrato come una funzione scalare.
Quindi, l'integrale risultante è una matrice delle stesse dimensioni \( m \times n \) di \( A(t) \), con ogni elemento corrispondente all'integrale dell'elemento originale.
Un esempio pratico
Considero la matrice \( A(t) \) dipendente da \( t \):
$$ A(t) = \begin{pmatrix} 2t & t^2 \\ \sin(t) & e^t \end{pmatrix} $$
Si tratta di una semplice matrice quadrata 2x2 con due righe e due colonne.
Calcolo l'integrale di ciascun elemento rispetto a \( t \):
- \( \int a_{11} \ dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1 \)
- \( \int a_{12} \ dt = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C_2 \)
- \( \int a_{21} \ dt = \int \sin(t) \, dt = -\cos(t) + C_3 \)
- \( \int a_{22} \ dt = \int e^t \, dt = e^t + C_4 \)
Dove \( C_1, C_2, C_3, C_4 \) sono le costanti di integrazione di ciascun integrale. Non vanno considerate come un'unica costante.
Quindi, l'integrale della matrice \( A(t) \) è:
$$ \int A(t) \, dt = \begin{pmatrix} t^2 + C_1 & \frac{t^3}{3} + C_2 \\ -\cos(t) + C_3 & e^t + C_4 \end{pmatrix} $$
E così via.