Integrale di una matrice

L'integrale di una matrice si calcola integrando ciascun elemento della matrice separatamente.

L'integrale della matrice $ A(t) $ di dimensioni $ m \times n $ dipendente da una variabile $ t $ è:

$$
\int A(t) \, dt = \begin{pmatrix}
\int a_{11}(t) \, dt & \dots & \int a_{1n}(t) \, dt \\
\int a_{21}(t) \, dt & \dots & \int a_{2n}(t) \, dt \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\int a_{m1}(t) \, dt & \dots & \int a_{mn}(t) \, dt
\end{pmatrix} $$

Ogni elemento $ a_{ij}(t) $ della matrice viene integrato come una funzione scalare.

Quindi, l'integrale risultante è una matrice delle stesse dimensioni $ m \times n $ di $ A(t) $, con ogni elemento corrispondente all'integrale dell'elemento originale.

Un esempio pratico

Considero la matrice $ A(t) $ dipendente da $ t $:

$$ A(t) = \begin{pmatrix} 2t & t^2 \\ \sin(t) & e^t \end{pmatrix} $$

Si tratta di una semplice matrice quadrata 2x2 con due righe e due colonne.

Calcolo l'integrale di ciascun elemento rispetto a $ t $:

$ \int a_{11} \ dt = \int 2t \, dt = t^2 + C_1 $
$ \int a_{12} \ dt = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C_2 $
$ \int a_{21} \ dt = \int \sin(t) \, dt = -\cos(t) + C_3 $
$ \int a_{22} \ dt = \int e^t \, dt = e^t + C_4 $

Dove $ C_1, C_2, C_3, C_4 $ sono le costanti di integrazione di ciascun integrale. Non vanno considerate come un'unica costante.

Quindi, l'integrale della matrice $ A(t) $ è:

$$ \int A(t) \, dt = \begin{pmatrix} t^2 + C_1 & \frac{t^3}{3} + C_2 \\ -\cos(t) + C_3 & e^t + C_4 \end{pmatrix} $$

E così via.