La matrice identità

Una matrice identità di ordine n è una matrice quadrata diagonale con tutti gli elementi sulla diagonale principale uguali a uno e tutti gli altri elementi uguali a zero. Per questa ragione è anche detta matrice unità o matrice identica.

un esempio di matrice identità

Pertanto, la matrice identità è un caso di matrice diagonale.

La matrice identità è indicata con il simbolo I(n)=(δij) dove n è la dimensione mentre gli elementi δij sono detti delta di Kronecker.

il delta di Kronecker

Nota. La matrice identità è un caso di matrice scalare in cui tutti gli elementi della diagonale sono uguali a uno.

    Le proprietà delle matrici identità

    Alcune proprietà e caratteristiche delle matrici identità

    • La matrice identità è l'elemento neutro della moltiplicazione riga per colonne tra matrici
      Il prodotto tra una matrice M (quadrata o rettangolare) con n colonne e la matrice identità I di ordine n è uguale alla matrice stessa M. $$ M \cdot I = M $$

      Esempio. $$ M \cdot I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

      Se la matrice è rettangolare bisogna fare attenzione perché nella moltiplicazione tra matrici il numero delle colonne della prima matrice deve essere uguale al numero di righe della seconda matrice.
      • Per ogni matrice A con n colonne si ha $$ AI_n=A $$

        Esempio. $$ A \cdot I_2 = A \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $$

      • Per ogni matrice B con n righe si ha $$ I_nB = B $$

        Esempio. $$ I_3 \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} $$

    • Le matrici identità godono della proprietà commutativa del prodotto se l'altra matrice è quadrata
      Date due matrici quadrate A e B, se almeno una delle due è una matrice unitaria è indifferente l'ordine delle matrici nella moltiplicazione ( AB = BA ) perché il risultato è sempre lo stesso. un esempio di commutatività del prodotto tra matrici di cui una unitaria

      Nota. Le matrici identità si distinguono dalle matrici in generale che, invece, non rispettano la proprietà commutativa nella moltiplicazione tra matrici.

    • Il determinante della matrice identità è sempre uguale a 1 $$ \text{det} (I) = 1 $$

    E così via.

     


     

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