Matrici totalmente unimodulari

Una matrice quadrata o rettangolare M è detta matrice totalmente unimodulare se ogni sottomatrice quadrata non singolare (con determinante non nullo) è una matrice unimodulare.

Una sottomatrice quadrata è unimodulare se ha il determinante uguale a +1 o -1.

Nel computo considero anche i singoli elementi non nulli della matrice M essendo delle sottomatrici quadrate di ordine 1 con determinante pari all'elemento stesso.

Nota. Escludo dal computo gli elementi nulli della matrice M perché sono, essendo pari a zero, sono sottomatrici quadrate "singolari" ossia hanno un determinante nullo.

Un esempio pratico

Questa matrice rettangolare

$$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

è una matrice totalmente unimodulare perché tutte le sue sottomatrici non singolari (non nulle) sono matrici unimodulari, ossia hanno un determinante pari a +1 o -1.

$$ det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 1 $$

$$ det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -1 $$

$$ det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 $$

Nel computo considero anche i singoli elementi come matrici quadrate di ordine 1.

$$ det (1)=1 $$

$$ det (-1)=1 $$

$$ det (1)=1 $$

$$ det (-1)=-1 $$

Nota. Escludo dal computo gli elementi uguali a zero perché, presi singolarmente, non sono una matrice quadrata di ordine 1 non singolare. $$ det (0)=0 $$

Proprietà delle matrici unimodulari

Alcune proprietà delle matrici totalmente unimodulari.

• La condizione necessaria ma non sufficiente per avere una matrice totalmente unimodulari è la presenza di elementi pari a 1 e -1.

  Nota. Se avesse degli elementi diversi da 1 e -1, questi elementi sarebbero sottomatrici di ordine 1 non unimodulari. Si tratta di una condizione necessaria ma non sufficiente perché una matrice composta solo da 1, 0, -1 potrebbe non essere totalmente unimodulare. Ad esempio, questa matrice è composta solo da 1, 0, -1 $$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$ ma non è totalmente unimodulare perché almeno una sottomatrice quadrata non è unimodulare $$ det \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2 $$

• Una matrice unimodulare potrebbe non essere totalmente unimodulare.

  Esempio. Questa matrice è unimodulare $$ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$perché il suo determinante è pari a 1$$ det \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 = 1 $$Tuttavia, la matrice non è totalmente unimodulare perché alcune sottomatrici quadrate non singolari hanno un determinante diverso da 1 e -1.$$ det(3) = 3 $$ $$ det(2) = 2 $$

• Se una matrice M_m,n è totalmente unimodulare, l'aggiunta di una matrice identità I_m (o -I_m) in orizzontale oppure di una matrice identità I_n (o -I_n) in verticale è ancora una matrice totalmente unimodulare $$

  Esempio. Questa matrice è totalmente unimodulare $$ M_{2,3} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ Se aggiungo una matrice identità I₂ o -I₂ in orizzontale è ancora una matrice totalmente unimodulare. $$ [ M_{2,3} \ I_2 ] = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & \color{red} 1 & \color{red} 0 \\ 1 & 0 & 1 & \color{red} 0 & \color{red} 1 \end{pmatrix} $$ $$ [ M_{2,3} \ -I_2 ] = \begin{pmatrix} 1 & {-1} & 0 & \color{red} {-1} & \color{red} 0 \\ 1 & 0 & 1 & \color{red} 0 & \color{red} {-1} \end{pmatrix} $$ Allo stesso modo se aggiungo una matrice identità I₃ o -I₃ in verticale, il risultato è ancora una matrice totalmente unimodulare $$ \begin{bmatrix} M_{2,3} \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \color{red} 1 & \color{red} 0 & \color{red} 0 \\ \color{red} 0 & \color{red} 1 & \color{red} 0 \\ \color{red} 0 & \color{red} 0 & \color{red} 1 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{bmatrix} M_{2,3} \\ I_2 \end{bmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ \color{red} {-1} & \color{red} 0 & \color{red} 0 \\ \color{red} 0 & \color{red} {-1} & \color{red} 0 \\ \color{red} 0 & \color{red} 0 & \color{red} {-1} \end{pmatrix} $$

E così via.