Teorema degli orlati
Il teorema degli orlati è un metodo pratico per calcolare il rango delle matrici più velocemente, senza considerare tutti i minori di ordine k.
E' anche conosciuto come teorema dell'orlando, teorema dell'orlato o teorema di Kronecker.
La definizione
Sia b un minore non nullo di ordine k di una sottomatrice B di A.
Nota. Il minore è il determinante della sottomatrice B. $$ \Delta_B = 4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 2 $$
Se sono nulli tutti i minori di ordine k+1 ottenuti orlando la sottomatrice B.
Cosa significa orlare la sottomatrice? Vuol dire fare l'orlo alla sottomatrice come si fa a una coperta. Significa aggiungere una riga e una colonna alla sottomatrice di ordine k, selezionandole tra le altre della matrice, per trasformarla in una sottomatrice di ordine k+1. Ad esempio, i minori ottenuti orlando la sottomatrice B sono detti orlati di B.
Allora sono nulli tutti i minori di ordine k+1 della matrice A e il rango della matrice A è uguale a k.
Nota. Non c'è una sola sottomatrice orlata. Ad esempio, la sottomatrice B può essere orlata combinando le righe e colonne restanti della matrice A. Ci sono 4 combinazioni possibili e altrettante sottomatrici orlate di cui calcolare il minore.
Un esempio pratico
La seguente matrice 4x4 ha un rango compreso tra 0 e 4.
Poiché esiste almeno un elemento diverso da zero, il rango della matrice è compreso tra 1 e 4.
Per verificare se la matrice ha rango 2, calcolo il minore di una sottomatrice 2x2 qualsiasi.
Il minore di ordine 2 preso come riferimento è diverso da zero, quindi il rango della matrice è compreso tra 2 e 4.
A questo punto applico il teorema degli orlati sulla precedente sottomatrice per verificare se esiste il rango 3 della matrice.
La matrice può essere "orlata" in quattro modi diversi:
Tutti i minori della matrice orlata sono nulli.
Secondo il teorema degli orlati la matrice A non ha un rango uguale a 3.
Se non esiste un rango di ordine k=3 allora non esistono nemmeno i ranghi di ordine superiore k>3.
Quindi, Il massimo rango della matrice è k=2 e la matrice A ha rango uguale a rk(A)=2.
Osservazioni utili
Alcune osservazioni utili sul teorema dell'orlare
- Una matrice ha rango rk(M)=0 uguale a zero solo se è una matrice nulla.
Dimostrazione. Se la matrice è nulla (M=0) ha tutti gli elementi uguali a zero, quindi tutti i suoi minori di ordine k=1 sono nulli.
- Il rango della matrice M è sempre uguale al rango della sua trasposta MT $$ rk(M) = rk(M^T) $$
Spiegazione. Una matrice quadrata ha lo stesso determinante della sua matrice trasposta. Quindi, il rango di una matrice M è necessariamente uguale a quello della sua matrice trasposta MT.
- Se una matrice M ha rango rk(M)=n allora tutti i suoi minori di ordine superiore a n sono nulli.
- Se in una matrice M tutti i minori di ordine n sono nulli, allora il rango della matrice è minore di n $$ rk(M)<n $$
E così via.
