Le matrici trasposte

Cos'è una matrice trasposta?

Una matrice trasposta è una matrice ottenuta trasformando ogni riga in una colonna. Data una matrice reale A=(a_ij) con m righe e n colonne ( m x n ), la matrice trasposta A^T è una matrice composta da m colonne e n righe ( n x m ).

Esempio. Per ottenere la matrice trasposta A^T della matrice A, prendo ogni riga e la riscrivo in colonna. In questo modo ottengo la matrice trasposta di A.

La matrice trasposta si indica con la notazione A^T. E' soltanto una notazione e non va confusa con le potenze.

In alcuni testi le matrici trasposte sono anche indicate con altre notazioni alternative come t(A), A^t o ^tA.

Le proprietà delle matrici trasposte

Le matrici trasposte hanno le seguenti proprietà:

1. La matrice trasposta di una somma di matrici ( A+B )^T è uguale alla somma delle rispettive matrici trasposte A^T+B^T.
   
2. La matrice trasposta del prodotto di uno scalare alfa per una matrice (αA)^T è uguale al prodotto dello scalare per la matrice trasposta di A ossia α(A^T).
   
3. La matrice trasposta di una matrice trasposta è la matrice stessa, ossia (A^T)^T=A.
   

   Nota. Questa proprietà indica una "involuzione" della funzione.

Qualche altro caso particolare

• Una matrice A 1x1 è uguale alla sua matrice A^T.
  
• La matrice trasposta di una matrice riga A 1xn è una matrice colonna A mx1 con m=n.
  
• La matrice trasposta di una matrice colonna A mx1 è una matrice riga A 1xn con n=m.