La matrice simmetrica

Cos'è la matrice simmetrica

Una matrice simmetrica è una matrice quadrata di ordine n con gli elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale.

Tutti gli elementi della matrice simmetrica soddisfano l'uguaglianza a_ij=a_ji per ogni i,j=1,...,n.

Nota. Soltanto le matrici quadrate possono essere simmetriche. Le matrici con un numero di righe diverso dalle colonne ( m≠n ) non possono essere simmetriche, perché le dimensioni della matrice iniziale e della matrice opposta sono diverse. Inoltre, soltanto le matrici quadrate hanno la diagonale.

Le matrici simmetriche sono indicate con la notazione M^S dove S significa Simmetrica.

L'insieme delle matrici simmetriche è anche indicato con S(n, R) dove n è l'ordine e R indica l'insieme dei numeri reali.

L'insieme delle matrici simmetriche S(n,R) è un sottoinsieme dell'insieme delle matrici quadrate a coefficienti reali M(n,n,R) di ordine n.

Un esempio pratico

La seguente matrice ha tre righe ( m=3 ) e tre colonne ( n=3 ). Si tratta di una matrice quadrata ( m=n ).

Essendo una matrice quadrata posso individuare la diagonale della matrice.

Per controllare se si tratta di una matrice simmetrica, analizzo gli elementi della triangolare superiore e inferiore della matrice.

In questo caso si tratta di una matrice simmetrica perché invertendo l'ordine degli indici di riga e colonna il valore degli elementi è sempre lo stesso.

Nota. Quando una matrice quadrata non rispetta la proprietà di simmetria non è una matrice simmetrica.

La matrice simmetrica e trasposta

Qualsiasi matrice simmetrica M è sempre uguale alla sua matrice trasposta M^T.

Esempio. Un esempio pratico di matrice simmetrica M uguale alla sua trasposta M^T. Sostituendo le righe alle colonne, i valori degli elementi a_ij sono sempre gli stessi.

Come calcolare la matrice simmetrica

Ogni matrice quadrata di ordine n può assumere una forma simmetrica.

Per calcolare la matrice simmetrica di una matrice quadrata M si utilizza la seguente formula:

Un esempio pratico

Questa matrice è quadrata di ordine 3 ma non è simmetrica.

Per calcolare la matrice simmetrica di M devo prima calcolare la sua matrice trasposta M^T

A questo punto applico la formula 1/2·(M+M^T).

In questo modo ottengo la matrice simmetrica M_s della matrice M.

A colpo d'occhio si può vedere che gli elementi della matrice Ms sono simmetrici rispetto alla diagonale principale.

La differenza tra matrice simmetrica e antisimmetrica

In una matrice simmetrica vale la relazione a_ij=a_ji tra gli elementi.

In una matrice antisimmetrica, invece, gli elementi corrispondenti sono l'opposto a_ij=-a_ji.

Nota. Se una matrice non è simmetrica non è detto che sia antisimmetrica. Antisimmetrica non vuole dire "non simmetrica". L'insieme delle matrici simmetriche S_n(R) e antisimmetriche A_n(R) sono due sottoinsiemi distinti dello spazio M_n(R) composto dalle matrici di ordine n. I sottoinsiemi S_n e A_n coincidono soltanto nel caso della matrice nulla in quanto è sia simmetrica che antisimmetrica.

Osservazioni sulle matrici simmetriche

Da ricordare sulle matrici simmetriche

1. Tutte le matrici nulle sono matrici simmetriche
2. La somma della matrice simmetrica M^S e antisimmetrica M^AS dà come risultato la matrice iniziale M.
   
3. Tutte le matrici diagonali sono matrici simmetriche

   Dimostrazione. Le matrici diagonali D(n,R) e le matrici simmetriche S(n,R) sono entrambe matrici quadrate. Sono definite in questo modo.
   
   In una matrice diagonale D(n,R) si verificano due situazioni:
   1) Se gli indici sono diversi (i≠j) l'elemento è nullo a_ij=0. Pertanto gli elementi in posizione simmetrica a_ij=a_ji sono uguali a_ij=a_ji=0 e soddisfano la condizione delle matrici simmetriche.
   2) Se gli indici sono uguali (i=j) invece a_ij e a_ji sono lo stesso elemento. Quindi, sono uguali e soddisfano la condizione delle matrici simmetriche.
   In conclusione, tutte le matrici diagonali D(n,R) sono anche matrici simmetriche S(n,R).