Il coseno di una matrice
Il coseno di una matrice \( A \) si può definire tramite la serie di Taylor del coseno adattata agli operatori di matrici. $$ \cos(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} A^{2k} $$
In pratica, per calcolare il coseno di una matrice utilizzo questa serie infinita, dove ogni termine prevede una potenza pari della matrice \( A \), con i coefficienti della serie.
Un esempio pratico
Considero la matrice \( A \)
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$
Questa matrice, che rappresenta una rotazione, è strutturata in modo semplice e permette calcoli relativamente diretti.
Procedo quindi con il calcolo di \( \cos(A) \) utilizzando i primi termini della serie di Taylor / MacLaurin.
$$ \cos(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} A^{2k} $$
Espando la serie per \( \cos(A) \):
$$ \cos(A) = I - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \dots $$
Per semplificare, osservo che la potenza \( A^2 \) di questa matrice è:
$$ A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$
Dove \( I \) è la matrice identità.
Nota: La potenza di una matrice si calcola moltiplicando la matrice \( A \) per sé stessa, non elevando ogni singolo elemento al quadrato. Per calcolare \( A^2 \) eseguo la moltiplicazione tra matrici \( A \cdot A \): $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} $$ $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & -1 + 0 \end{pmatrix} $$ Il risultato è: $$ A^2 = \begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ Questo risultato è equivalente a \(-I\), con \(I\) la matrice identità. $$ A^2 = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -1 \cdot I $$ $$ A^2 = - I $$
Dato che \( A^2 = -I \), possiamo ora calcolare \( A^4 \):
$$ A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I $$
Usando queste informazioni, possiamo semplificare la serie del coseno:
$$ \cos(A) = I - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \dots $$
Sostituendo \( A^2 = -I \) e \( A^4 = I \):
$$ \cos(A) = I - \frac{-I}{2!} + \frac{I}{4!} - \dots $$
$$ \cos(A) = I \left(1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{4!} + \dots \right) $$
Sommando i primi termini, dato che i successivi continuano in modo ciclico, ottengo una buona approssimazione per \( \cos(A) \):
$$ \cos(A) \approx I \left(1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{4!} + \dots \right) $$
Questo metodo converge rapidamente e fornisce una rappresentazione pratica per \( \cos(A) \).
E così via.