Il coseno di una matrice

Il coseno di una matrice $ A $ si può definire tramite la serie di Taylor del coseno adattata agli operatori di matrici. $$ \cos(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} A^{2k} $$

In pratica, per calcolare il coseno di una matrice utilizzo questa serie infinita, dove ogni termine prevede una potenza pari della matrice $ A $, con i coefficienti della serie.

Un esempio pratico

Considero la matrice $ A $

$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$

Questa matrice, che rappresenta una rotazione, è strutturata in modo semplice e permette calcoli relativamente diretti.

Procedo quindi con il calcolo di $ \cos(A) $ utilizzando i primi termini della serie di Taylor / MacLaurin.

$$ \cos(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} A^{2k} $$

Espando la serie per $ \cos(A) $:

$$ \cos(A) = I - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \dots $$

Per semplificare, osservo che la potenza $ A^2 $ di questa matrice è:

$$ A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$

Dove $ I $ è la matrice identità.

Nota: La potenza di una matrice si calcola moltiplicando la matrice $ A $ per sé stessa, non elevando ogni singolo elemento al quadrato. Per calcolare $ A^2 $ eseguo la moltiplicazione tra matrici $ A \cdot A $: $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} $$ $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & -1 + 0 \end{pmatrix} $$ Il risultato è: $$ A^2 = \begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ Questo risultato è equivalente a $-I$, con $I$ la matrice identità. $$ A^2 = -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -1 \cdot I $$ $$ A^2 = - I $$

Dato che $ A^2 = -I $, possiamo ora calcolare $ A^4 $:

$$ A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I $$

Usando queste informazioni, possiamo semplificare la serie del coseno:

$$ \cos(A) = I - \frac{A^2}{2!} + \frac{A^4}{4!} - \dots $$

Sostituendo $ A^2 = -I $ e $ A^4 = I $:

$$ \cos(A) = I - \frac{-I}{2!} + \frac{I}{4!} - \dots $$

$$ \cos(A) = I \left(1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{4!} + \dots \right) $$

Sommando i primi termini, dato che i successivi continuano in modo ciclico, ottengo una buona approssimazione per $ \cos(A) $:

$$ \cos(A) \approx I \left(1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{4!} + \dots \right) $$

Questo metodo converge rapidamente e fornisce una rappresentazione pratica per $ \cos(A) $.

E così via.