Il rango della matrice

Il rango di una matrice A è il minore non nullo con ordine più grande. E' anche detto caratteristica della matrice.

Data una matrice A di tipo mxn ha rango p se esiste almeno un minore di ordine p con determinante non nullo e tutti i minori di ordine p+1, se esistono, hanno un determinante nullo.

un esempio di sottomatrice complementare

Il rango della matrice A è un numero reale ed è indicato con il simbolo rk(A), rg(A), r(A), p(A).

Nota. Spiegato in modo più semplice, data una matrice qualsiasi il rango è l'ordine massimo dei minori con determinante non nullo.

A cosa serve il rango?

Il rango indica il numero di righe o colonne linearmente indipendenti della matrice.

Come calcolare il rango della matrice

Se la matrice A appartiene Mmxn allora il rango della matrice r(A) è compreso tra zero e il numero intero minore tra righe e colonne.
il rango delle matrici

Il numero di righe/colonne linearmente indipendente non può essere superiore al numero di righe e di colonne della matrice.

Nota. Per convenzione soltanto la matrice nulla ha rango zero. Tutte le altre matrici hanno un rango maggiore o uguale a 1.

Un esempio pratico

Nel seguente esempio calcolo il rango di una matrice 3x4.

il rango della matrice è uguale a 3

Il rango della matrice è uguale a 3.

Nota. Per calcolare il rango non occorre verificare tutti i minori di ogni ordine della radice. E' sufficiente trovare il primo minore diverso da zero nell'ordine N per passare all'ordine successivo N+1.

Il rango massimo o pieno

Se rango=min(m,n) allora si dice rango massimo o rango pieno.

Un esempio pratico

un esempio di rango pieno

Nota. Nelle matrici quadrate di ordine n il rango potrebbe coincidere con l'ordine della matrice stessa, rg(A)=n , soltanto se il determinante della matrice è diverso da zero.

Le proprietà del rango

Il rango delle matrici ha le seguenti proprietà:

  1. Il rango di una matrice A è uguale al rango della matrice trasposta AT.
    il rango della matrice trasposta è uguale al rango della matrice
  2. Il rango è uguale a zero soltanto nelle matrici nulle.
  3. Se tutti i minori di ordine N sono nulli, allora sono nulli anche tutti gli ordini superiori a N della matrice.

    Dimostrazione. Per ipotesi tutti i minori di ordine k di una matrice sono nulli, dove k è minore al valore minimo tra il numero di righe m e di colonne n ( k<min{m,n} ). Consideriamo un minore di ordine j dove k<j≤min{m,n}. Nello sviluppo di Laplace il determinante di una matrice di ordine j si riduce al calcolo dei determinanti delle sottomatrici quadrate di ordine j-1. E così via fino al calcolo dei determinanti delle sottomatrici quadrate di ordine j-1=k. Essendo nulli i minori di ordine k, si dimostra così che anche tutti i minori di ordine superiore a k sono nulli.

Altri metodi di calcolo del rango

Il rango della matrice può essere ottenuto calcolando tutti i minori della matrice.

Tuttavia, questo metodo è abbastanza lungo.

Quali sono i metodi alternativi per calcolare il rango?

Per ridurre i calcoli si possono utilizzare altri metodi più rapidi come i seguenti:

  1. il teorema degli orlati ( o teorema di Kronecker )
  2. il metodo di eliminazione di Gauss

Osservazioni

Alcune osservazioni utili sul calcolo del rango di una matrice

 


 

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FAQ

  1. Qual è la matrice con rango uguale a zero?
    L'unica matrice con rango uguale a zero è la matrice nulla.
  2. Quando la matrice ha rango pieno?
    La matrice ha rango pieno ( o rango massimo ) quando il rango è uguale al minimo tra il numero delle righe e il numero delle colonne.
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knowledge base

Rango della matrice

  1. Il rango della matrice
  2. Il teorema degli orlati
  3. Il calcolo del rango con Gauss

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