Matrici equivalenti per riga

Due matrici sono equivalenti per riga se svolgo queste operazioni dette operazioni elementari di riga

  • Sommo una riga i-esima della matrice con un'altra riga j-esima della matrica moltiplicata per uno scalare k≠0. $$ R_i + R_j \cdot k $$ dove i≠j.
  • Scambio posizione di due righe della matrice. $$ R_i \Leftrightarrow R_j $$

A cosa serve? Le matrici equivalenti per riga sono usate per creare una matrice a gradini nella risoluzione dei sistemi lineari. Inoltre, sono una via alternativa per calcolare il rango e il determinante di una matrice.

Un esempio pratico

Ho la matrice

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \end{pmatrix} $$

Svolgo questa operazione per riga

$$ R3 + R1 \cdot (-2) $$

Sommo la terza riga R3 con la prima riga R1 moltiplicata per -2

Nota. Detto in modo equivalente, forse più semplice, sottraggo dalla terza riga R3 la prima riga R1 moltiplicata per 2. $$ R3 - R2 \cdot 2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2-2 & 6-4 & 8-6 \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$

Scambio di posto la seconda riga R2 con la terza riga R3

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$

In questo modo ho ottenuto una matrice a gradini.

Le proprietà delle matrici equivalenti per riga

Le matrici equivalenti per riga soddisfano le seguenti proprietà

  • Proprietà riflessiva
    Ogni matrice è equivalente per riga a se stessa $$ A=A $$
  • Proprietà simmetrica
    Se la matrice A è equivalente per riga alla matrice B, allora anche la matrice B è equivalente per riga alla matrice A $$ A=B \Leftrightarrow B=A $$
  • Proprietà transitiva
    Se la matrice A è equivalente per riga alla matrice B $$ A=B $$ e la matrice B è equivalente per riga alla matrice C $$ B=C $$ allora la matrice A è equivalente per riga alla matrice C. $$ A=C $$

E così via

 


 

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I sistemi lineari a gradini

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