Matrici equivalenti per riga
Due matrici sono equivalenti per riga se svolgo queste operazioni dette operazioni elementari di riga
- Sommo una riga i-esima della matrice con un'altra riga j-esima della matrica moltiplicata per uno scalare k≠0. $$ R_i + R_j \cdot k $$ dove i≠j.
- Scambio posizione di due righe della matrice. $$ R_i \Leftrightarrow R_j $$
A cosa serve? Le matrici equivalenti per riga sono usate per creare una matrice a gradini nella risoluzione dei sistemi lineari. Inoltre, sono una via alternativa per calcolare il rango e il determinante di una matrice.
Un esempio pratico
Ho la matrice
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2 & 6 & 8 \end{pmatrix} $$
Svolgo questa operazione per riga
$$ R3 + R1 \cdot (-2) $$
Sommo la terza riga R3 con la prima riga R1 moltiplicata per -2
Nota. Detto in modo equivalente, forse più semplice, sottraggo dalla terza riga R3 la prima riga R1 moltiplicata per 2. $$ R3 - R2 \cdot 2 $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 2-2 & 6-4 & 8-6 \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
Scambio di posto la seconda riga R2 con la terza riga R3
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$
In questo modo ho ottenuto una matrice a gradini.
Le proprietà delle matrici equivalenti per riga
Le matrici equivalenti per riga soddisfano le seguenti proprietà
- Proprietà riflessiva
Ogni matrice è equivalente per riga a se stessa $$ A=A $$ - Proprietà simmetrica
Se la matrice A è equivalente per riga alla matrice B, allora anche la matrice B è equivalente per riga alla matrice A $$ A=B \Leftrightarrow B=A $$ - Proprietà transitiva
Se la matrice A è equivalente per riga alla matrice B $$ A=B $$ e la matrice B è equivalente per riga alla matrice C $$ B=C $$ allora la matrice A è equivalente per riga alla matrice C. $$ A=C $$
E così via