Polinomio caratteristico di una matrice
Il polinomio caratteristico di una matrice quadrata è il determinante della differenza tra la matrice M di ordine n e una matrice identità dello stesso ordine Idn moltiplicata per una variabile lamda. $$ p_M (\lambda) = det(M-\lambda \cdot Id_n) $$
Il polinomio caratteristico della matrice è utile per il calcolo degli autovalori.
Un esempio pratico
Considero la matrice quadrata M di ordine n=2
E' di ordine due perché composta da due righe e due colonne
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Ora calcolo il polinomio caratteristico della matrice
$$ p_M (\lambda) = \det(M-\lambda \cdot Id_2) $$
Sostituisco M con la matrice quadrata
$$ p_M (\lambda) = \det \ [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} -\lambda \cdot Id_n \ ] $$
Sostituisco Id2 con una matrice identità di ordine 2
$$ p_M (\lambda) = \det \ [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} -\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ ] $$
Moltiplico la variabile lamda per la matrice identità
$$ p_M (\lambda) = \det \ [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \cdot \lambda & 0 \cdot \lambda \\ 0 \cdot \lambda & 1 \cdot \lambda \end{pmatrix} \ ] $$
$$ p_M (\lambda) = \det \ [ \ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \ ] $$
Calcolo la differenza tra le due matrici
$$ p_M (\lambda) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 - 0 \\ 3 - 0 & 4 - \lambda \end{pmatrix} $$
$$ p_M (\lambda) = \det \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 2 \\ 3 & 4 - \lambda \end{pmatrix} $$
Infine punto calcolo il determinante della matrice
$$ p_M (\lambda) = (1 - \lambda) \cdot ( 4 - \lambda ) - 2 \cdot 3 $$
$$ p_M (\lambda) = 4 - \lambda - 4 \lambda + \lambda^2 - 6 $$
In questo modo ottengo il polinomio caratteristico della matrice quadrata M.
$$ p_M (\lambda) = \lambda^2 - 5 \lambda - 2 $$
E così via.