Autovalori di una matrice

Gli autovalori (o valori propri) di una matrice quadrata \( A \) sono i valori scalari \( \lambda \) che soddisfano l'equazione $$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$ dove \( \mathbf{v} \) è un vettore non nullo detto autovettore (o vettore proprio).

Questa relazione implica che il prodotto tra la matrice \( A \) e il vettore \( \mathbf{v} \) non cambia la direzione del vettore, ma solo la sua lunghezza (o segno) scalata dal fattore \( \lambda \).

Per determinare gli autovalori, risolvo il polinomio caratteristico della matrice:

$$  \det(A - \lambda I) = 0 $$

Dove \( I \) è la matrice identità con la stessa dimensione della matrice quadrata.

Gli \( \lambda \) che soddisfano questa equazione sono gli autovalori della matrice \( A \).

A cosa servono gli autovalori? Gli autovalori sono utilizzati in molti ambiti. Ad esempio, nella diagonalizzazione delle matrici, nelle analisi dei sistemi lineari, ecc.

    Un esempio pratico

    Considero la matrice quadrata \( A \):

    $$ A = \begin{pmatrix}
    4 & 2 \\
    1 & 3
    \end{pmatrix} $$

    Per trovare gli autovalori, trovo il polinomio caratteristico della matrice A.

    $$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

    Dove \( I \) è la matrice identità della stessa dimensione.

    $$ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} $$

    Il determinante di questa matrice è:

    $$ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2 \cdot 1) $$

    $$ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 $$

    Per trovare le soluzioni dell'equazione devo sviluppo il calcolo

    $$ \det(A - \lambda I) = 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2 $$

    $$ \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 7\lambda + 10 $$

    Risolvo l'equazione di secondo grado $ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 $

    $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} $$

    Dove $ a = 1 $, $ b = -7 $ e $ c = 10 $

    $$ \lambda = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2-4 \cdot 1 \cdot 10} }{2 \cdot 1} $$

    $$ \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49-40} }{2} $$

    $$ \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{9} }{2} $$

    $$ \lambda = \frac{7 \pm 3 }{2} $$

    $$ \lambda = \begin{cases} \frac{7 - 3 }{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ \\ \frac{7 + 3 }{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{cases} $$

    Quindi, gli autovalori della matrice sono i seguenti:

    $$ \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2 $$

    Grazie alla conoscenza degli autovalori posso calcolare anche gli autovettori della matrice.

    Come calcolare gli autovettori. Per ogni autovalore, trovo i relativi autovettori risolvendo \( (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 \).

    • Per \( \lambda_1 = 5 \) la matrice \( A - 5I \) è: $$ A - 5I = \begin{pmatrix} 4 - 5 & 2 \\ 1 & 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $$ Risolvo l'equazione vettoriale \( (A - 5I)\mathbf{v} = 0 \) $$ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 0 \\  0 \end{pmatrix}. $$ Il sistema lineare equivalente dell'equazione vettoriale è: $$ \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ \\ x - 2y = 0 \end{cases} $$$$ \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ \\ x  = 2y \end{cases} $$ Sostituisco $ x=2y $ nella prima equazione del sistema $$ \begin{cases} -(2y) + 2y = 0 \\ \\ x  = 2y \end{cases} $$$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ \\ x  = 2y \end{cases} $$ Poiché la prima equazione è un'identità 0=0, le soluzioni del sistema sono gli infiniti valori che soddisfano $$ x = 2y $$ Pertanto  l'autovettore associato a \( \lambda_1 = 5 \) è un vettore del tipo $ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2x \\ y \end{pmatrix} $. Ad esempio, il vettore $ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $
    • Per \( \lambda_2 = 2 \) la matrice \( A - 5I \) è: $$ A - 2I = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 2 \\ 1 & 3 - 2 \end{pmatrix} =
      \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ Risolvo l'equazione vettoriale \( (A - 5I)\mathbf{v} = 0 \) $$ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\  y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Il sistema lineare dell'equazione vettoriale è: $$ \begin{cases} 2x + 2y = 0 \\ \\ x + y = 0 \end{cases} $$$$ \begin{cases} 2x + 2y = 0 \\ \\ x  = -y \end{cases} $$ Sostituisco $ x=-y $ nella prima equazione del sistema e ottengo $$ \begin{cases} 2(-y) + 2y = 0 \\ \\ x  = -y \end{cases} $$$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ \\ x  = -y \end{cases} $$ La prima equazione è un'identità 0=0, quindi le soluzioni del sistema sono gli infiniti valori che soddisfano $$ x = -y $$ Pertanto  l'autovettore associato a \( \lambda_2 = 2 \) è un vettore del tipo $ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix} $. Ad esempio, il vettore $ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $

    Quindi, gli autovalori e i rispettivi autovettori della matrice sono i seguenti:

    • $ \lambda_1 = 5, \quad \mathbf{v}_1 =  \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $
    • $ \lambda_2 = 2, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $

    Esempio 2

    In questo esempio calcolo gli autovalori in un sistema di equazioni.

    Considero il sistema:

    $$ \begin{cases} 3x + 2y &= 6, \\ 4x + y &= 5 \end{cases}  $$

    Un sistema di equazioni lineari può essere rappresentato in forma matriciale come:

    $$ A \mathbf{x} = \mathbf{b} $$

    Dove \( A \) è la matrice dei coefficienti, \( \mathbf{x} \) è il vettore incognito, \( \mathbf{b} \) è il vettore dei termini noti.

    In questo caso la matrice associata al sistema è:

    $$ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} $$

    Gli autovalori di \( A \) si trovano risolvendo il polinomio caratteristico:

    $$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

    Costruisco la matrice \( A - \lambda I \):

    $$ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 4 & 1 - \lambda \end{bmatrix} $$

    Poi calcolo il determinante della matrice: \( A - \lambda I \):

    $$ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(1 - \lambda) - (4 \cdot 2) $$

    $$ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(1 - \lambda) - 8 $$

    $$ \det(A - \lambda I) = 3 - 3\lambda - \lambda + \lambda^2 - 8 $$

    $$ \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 4\lambda - 5 $$

    Ho così trovato il polinomio caratteristico:

    $$ \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0 $$

    Trovo le soluzioni del polinomio caratteristico.

    $$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

    Dove $ a=1 $, $ b = -4 $ e $ c=-5 $

    $$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} $$

    $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16+20}}{2} $$

    $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} $$

    $$ \lambda = \frac{4 \pm 6}{2} $$

    $$ \lambda = \begin{cases} \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \\ \\ \frac{4 +  6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{cases} $$

    Quindi, gli autovalori sono \( \lambda_1 = 5 \) e \( \lambda_2 = -1 \)

    E così via.

     

     


     

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