Autovalori di una matrice

Gli autovalori (o valori propri) di una matrice quadrata $ A $ sono i valori scalari $ \lambda $ che soddisfano l'equazione $$ A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$ dove $ \mathbf{v} $ è un vettore non nullo detto autovettore (o vettore proprio).

Questa relazione implica che il prodotto tra la matrice $ A $ e il vettore $ \mathbf{v} $ non cambia la direzione del vettore, ma solo la sua lunghezza (o segno) scalata dal fattore $ \lambda $.

Per determinare gli autovalori, risolvo il polinomio caratteristico della matrice:

$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

Dove $ I $ è la matrice identità con la stessa dimensione della matrice quadrata.

Gli $ \lambda $ che soddisfano questa equazione sono gli autovalori della matrice $ A $.

A cosa servono gli autovalori? Gli autovalori sono utilizzati in molti ambiti. Ad esempio, nella diagonalizzazione delle matrici, nelle analisi dei sistemi lineari, ecc.

Un esempio pratico

Considero la matrice quadrata $ A $:

$$ A = \begin{pmatrix}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{pmatrix} $$

Per trovare gli autovalori, trovo il polinomio caratteristico della matrice A.

$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

Dove $ I $ è la matrice identità della stessa dimensione.

$$ A - \lambda I = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - \lambda & 2 \\ 1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} $$

Il determinante di questa matrice è:

$$ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - (2 \cdot 1) $$

$$ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(3 - \lambda) - 2 $$

Per trovare le soluzioni dell'equazione devo sviluppo il calcolo

$$ \det(A - \lambda I) = 12 - 4\lambda - 3\lambda + \lambda^2 - 2 $$

$$ \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 7\lambda + 10 $$

Risolvo l'equazione di secondo grado $ \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0 $

$$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} $$

Dove $ a = 1 $, $ b = -7 $ e $ c = 10 $

$$ \lambda = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2-4 \cdot 1 \cdot 10} }{2 \cdot 1} $$

$$ \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49-40} }{2} $$

$$ \lambda = \frac{7 \pm \sqrt{9} }{2} $$

$$ \lambda = \frac{7 \pm 3 }{2} $$

$$ \lambda = \begin{cases} \frac{7 - 3 }{2} = \frac{4}{2} = 2 \\ \\ \frac{7 + 3 }{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{cases} $$

Quindi, gli autovalori della matrice sono i seguenti:

$$ \lambda_1 = 5, \quad \lambda_2 = 2 $$

Grazie alla conoscenza degli autovalori posso calcolare anche gli autovettori della matrice.

Come calcolare gli autovettori. Per ogni autovalore, trovo i relativi autovettori risolvendo $ (A - \lambda I)\mathbf{v} = 0 $.

Per $ \lambda_1 = 5 $ la matrice $ A - 5I $ è: $$ A - 5I = \begin{pmatrix} 4 - 5 & 2 \\ 1 & 3 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} $$ Risolvo l'equazione vettoriale $ (A - 5I)\mathbf{v} = 0 $ $$ \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. $$ Il sistema lineare equivalente dell'equazione vettoriale è: $$ \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ \\ x - 2y = 0 \end{cases} $$$$ \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ \\ x = 2y \end{cases} $$ Sostituisco $ x=2y $ nella prima equazione del sistema $$ \begin{cases} -(2y) + 2y = 0 \\ \\ x = 2y \end{cases} $$$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ \\ x = 2y \end{cases} $$ Poiché la prima equazione è un'identità 0=0, le soluzioni del sistema sono gli infiniti valori che soddisfano $$ x = 2y $$ Pertanto l'autovettore associato a $ \lambda_1 = 5 $ è un vettore del tipo $ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2x \\ y \end{pmatrix} $. Ad esempio, il vettore $ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $
Per $ \lambda_2 = 2 $ la matrice $ A - 5I $ è: $$ A - 2I = \begin{pmatrix} 4 - 2 & 2 \\ 1 & 3 - 2 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ Risolvo l'equazione vettoriale $ (A - 5I)\mathbf{v} = 0 $ $$ \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Il sistema lineare dell'equazione vettoriale è: $$ \begin{cases} 2x + 2y = 0 \\ \\ x + y = 0 \end{cases} $$$$ \begin{cases} 2x + 2y = 0 \\ \\ x = -y \end{cases} $$ Sostituisco $ x=-y $ nella prima equazione del sistema e ottengo $$ \begin{cases} 2(-y) + 2y = 0 \\ \\ x = -y \end{cases} $$$$ \begin{cases} 0 = 0 \\ \\ x = -y \end{cases} $$ La prima equazione è un'identità 0=0, quindi le soluzioni del sistema sono gli infiniti valori che soddisfano $$ x = -y $$ Pertanto l'autovettore associato a $ \lambda_2 = 2 $ è un vettore del tipo $ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} x \\ -y \end{pmatrix} $. Ad esempio, il vettore $ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} $

Quindi, gli autovalori e i rispettivi autovettori della matrice sono i seguenti:

$ \lambda_1 = 5, \quad \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} $
$ \lambda_2 = 2, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} $

Esempio 2

In questo esempio calcolo gli autovalori in un sistema di equazioni.

Considero il sistema:

$$ \begin{cases} 3x + 2y &= 6, \\ 4x + y &= 5 \end{cases} $$

Un sistema di equazioni lineari può essere rappresentato in forma matriciale come:

$$ A \mathbf{x} = \mathbf{b} $$

Dove $ A $ è la matrice dei coefficienti, $ \mathbf{x} $ è il vettore incognito, $ \mathbf{b} $ è il vettore dei termini noti.

In questo caso la matrice associata al sistema è:

$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} $$

Gli autovalori di $ A $ si trovano risolvendo il polinomio caratteristico:

$$ \det(A - \lambda I) = 0 $$

Costruisco la matrice $ A - \lambda I $:

$$ A - \lambda I = \begin{bmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 4 & 1 - \lambda \end{bmatrix} $$

Poi calcolo il determinante della matrice: $ A - \lambda I $:

$$ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(1 - \lambda) - (4 \cdot 2) $$

$$ \det(A - \lambda I) = (3 - \lambda)(1 - \lambda) - 8 $$

$$ \det(A - \lambda I) = 3 - 3\lambda - \lambda + \lambda^2 - 8 $$

$$ \det(A - \lambda I) = \lambda^2 - 4\lambda - 5 $$

Ho così trovato il polinomio caratteristico:

$$ \lambda^2 - 4\lambda - 5 = 0 $$

Trovo le soluzioni del polinomio caratteristico.

$$ \lambda = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

Dove $ a=1 $, $ b = -4 $ e $ c=-5 $

$$ \lambda = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} $$

$$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16+20}}{2} $$

$$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} $$

$$ \lambda = \frac{4 \pm 6}{2} $$

$$ \lambda = \begin{cases} \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \\ \\ \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5 \end{cases} $$

Quindi, gli autovalori sono $ \lambda_1 = 5 $ e $ \lambda_2 = -1 $

E così via.