Le matrici antisimmetriche
Una matrice M è detta antisimmetrica quando gli elementi della triangolare superiore, quelli sopra la diagonale principale, sono uguali ma di segno algebrico opposto agli elementi corrispondenti della triangolare inferiore.
Una matrice antisimmetrica è indicata con la notazione MAS dove AS significa Anti Simmetrica.
Esempio di matrice antisimmetrica. Questa matrice quadrata 3x3 è un esempio di matrice antisimmetrica. Ogni elemento aij della matrice ha lo stesso valore dell'elemento corrispondente aji ma di segno algebrico opposto.
Nota. L'elemento corrispondente di aij si ottiene invertendo il numero di righe i e di colonne j ( aij ⇒ aji ).
In una matrice antisimmetrica per ogni i,j da 1 a n gli elementi sono in relazione aij=-aji,
La relazione tra la matrice antisimmetrica e la matrice trasposta
Se la matrice è antisimmetrica, la sua matrice trasposta MT è uguale alla matrice opposta -M.
Soltanto le matrici quadrate possono essere antisimmetriche
Le matrici rettangolari non possono essere antisimmetriche perché la trasposta ha dimensioni diverse rispetto alla matrice iniziale.
Inoltre, le matrici rettangolari non hanno le diagonali.
La diagonale nulla nelle matrici antisimmetriche
Le matrici antisimmetriche hanno tutti gli elementi della diagonale principale uguali a zero.
Perché la diagonale è nulla? La diagonale è nulla perché nella trasposta di una matrice quadrata i valori degli elementi diagonali ( aij=aji ) sono invariati e l'unico numero uguale al suo opposto è lo zero.
Esistono matrici simmetriche e antisimmetriche?
La matrice nulla è l'unica matrice ad avere la caratteristica di essere sia simmetrica che antisimmetrica.
Come calcolare la matrice antisimmetrica
Qualsiasi matrice quadrata può assumere una forma antisimmetrica.
Per calcolare la matrice antisimmetrica di una matrice quadrata M si usa la seguente formula:
Un esempio pratico
Questa matrice è quadrata di ordine 3 ma non è antisimmetrica.
Per calcolare la matrice antisimmetrica di M calcolo la sua matrice trasposta MT
Poi applico la formula 1/2·(M-MT).
In questo modo ottengo la matrice anti-simmetrica MAS della matrice M.
Come si può notare, la diagonale principale della matrice Ms è nulla e gli elementi sono opposti rispetto alla diagonale principale.
La somma della matrice simmetrica e antisimmetrica
La somma della matrice simmetrica MS e antisimmetrica MAS è uguale alla matrice M iniziale.
Nota. La matrice MAS è detta parte antisimmetrica di M mentre la matrice MS è detta parte simmetrica di M. Se la matrice M è simmetrica allora la sua parte antisimmetrica è nulla. In modo analogo, se la matrice M è antisimmetrica allora la sua parte simmetrica è nulla.
Faccio un esempio pratico, da questa matrice quadrata calcolo la rispettiva matrice simmetrica e antisimmetrica
La somma di MAS e MS dà come risultato la matrice iniziale M.
Dimostrazione:
Per dimostrare l'unicità della parte simmetrica e antisimmetrica il procedimento è un po' più lungo.