Le matrici antisimmetriche

Una matrice M è detta antisimmetrica quando gli elementi della triangolare superiore, quelli sopra la diagonale principale, sono uguali ma di segno algebrico opposto agli elementi corrispondenti della triangolare inferiore.

la matrice antisimmetrica

Una matrice antisimmetrica è indicata con la notazione MAS dove AS significa Anti Simmetrica.

Esempio di matrice antisimmetrica. Questa matrice quadrata 3x3 è un esempio di matrice antisimmetrica. Ogni elemento aij della matrice ha lo stesso valore dell'elemento corrispondente aji ma di segno algebrico opposto.
un esempio di matrice antisimmetrica
Nota. L'elemento corrispondente di aij si ottiene invertendo il numero di righe i e di colonne j ( aij ⇒ aji ).

In una matrice antisimmetrica per ogni i,j da 1 a n gli elementi sono in relazione aij=-aji,

la relazione degli elementi in una matrice antisimmetrica

La relazione tra la matrice antisimmetrica e la matrice trasposta

Se la matrice è antisimmetrica, la sua matrice trasposta MT è uguale alla matrice opposta -M.

la relazione opposta tra la matrice antisimmetrica e la matrice trasposta

un esempio di matrice antisimmetrica uguale all'opposto della trasposta

Soltanto le matrici quadrate possono essere antisimmetriche

Le matrici rettangolari non possono essere antisimmetriche perché la trasposta ha dimensioni diverse rispetto alla matrice iniziale.

Inoltre, le matrici rettangolari non hanno le diagonali.

La diagonale nulla nelle matrici antisimmetriche

Le matrici antisimmetriche hanno tutti gli elementi della diagonale principale uguali a zero.

perché la diagonale delle matrici antisimmettriche è nulla

Perché la diagonale è nulla? La diagonale è nulla perché nella trasposta di una matrice quadrata i valori degli elementi diagonali ( aij=aji ) sono invariati e l'unico numero uguale al suo opposto è lo zero.

Esistono matrici simmetriche e antisimmetriche?

La matrice nulla è l'unica matrice ad avere la caratteristica di essere sia simmetrica che antisimmetrica.

la matrice nulla è simmetrica e antisimmettrica

Come calcolare la matrice antisimmetrica

Qualsiasi matrice quadrata può assumere una forma antisimmetrica.

Per calcolare la matrice antisimmetrica di una matrice quadrata M si usa la seguente formula:

la formula per calcolare la matrice antisimmetrica

Un esempio pratico

Questa matrice è quadrata di ordine 3 ma non è antisimmetrica.

un esempio di matrice non simmetrica

Per calcolare la matrice antisimmetrica di M calcolo la sua matrice trasposta MT

il calcolo della matrice trasposta di M

Poi applico la formula 1/2·(M-MT).

il calcolo della matrice anti-simmetrica

In questo modo ottengo la matrice anti-simmetrica MAS della matrice M.

Come si può notare, la diagonale principale della matrice Ms è nulla e gli elementi sono opposti rispetto alla diagonale principale.

La somma della matrice simmetrica e antisimmetrica

La somma della matrice simmetrica MS e antisimmetrica MAS è uguale alla matrice M iniziale.

la somma della matrice simmetrica e antisimmetrica

Nota. La matrice MAS è detta parte antisimmetrica di M mentre la matrice MS è detta parte simmetrica di M. Se la matrice M è simmetrica allora la sua parte antisimmetrica è nulla. In modo analogo, se la matrice M è antisimmetrica allora la sua parte simmetrica è nulla.

Faccio un esempio pratico, da questa matrice quadrata calcolo la rispettiva matrice simmetrica e antisimmetrica

esempio pratico

La somma di MAS e MS dà come risultato la matrice iniziale M.

la somma delle matrici Ms e Mas restituisce la matrice M

Dimostrazione:
la somma della matrice simmetrica e antisimmetrica è uguale alla matrice stessa
Per dimostrare l'unicità della parte simmetrica e antisimmetrica il procedimento è un po' più lungo.
la dimostrazione dell'unicità della parte simmetrica e antisimmetrica

 


 

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