La matrice

Una matrice è una tabella ordinata di elementi ai,j. Dove ai,j sono numeri detti elementi (o coefficienti) e gli indici i,j in pedice agli elementi sono dei numeri interi positivi che indicano per convenzione prima il numero di riga (i) e poi il numero di colonna (j).

Se gli elementi sono numeri reali, la matrice è detta matrice a coefficienti reali.

$$ A : = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1j} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2j} & ... & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ij} & \dots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mj} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

Un generico elemento di posto (i,j) si trova nella i-esima riga e j-esima colonna.

Gli indici degli elementi possono essere indicati con la virgola (am,n) o senza la virgola (amn) tra gli indici.

Nota. La notazione con la virgola evita le ambiguità quando gli indici superano la decina.

Altre notazioni sintetiche per indicare la matrice sono A(m,n) , Amxn o A=(amn).

le altre notazioni universali delle matrici

Il numero complessivo delle righe e delle colonne ( mxn ) è detto dimensione della matrice.

la dimensione della matrice

Quindi m e n sono le dimensioni di una generica matrice di tipo (m,n).

Se il numero di righe è uguale al numero delle colonne (m=n) la matrice è detta matrice quadrata.

A cosa serve la matrice? Le matrici sono oggetti matematici usate soprattutto nell'algebra lineare per rappresentare e risolvere i sistemi lineari di m equazioni e n variabili.

Un esempio di matrice

Questa è una matrice di tipo (2,3)

$$ A : = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 6 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} $$

Gli elementi della matrice sono

$$ a_{11}=3 \\ a_{12} = 1 \\ a_{13} = 6 \\ a_{21}=0 \\ a_{22} = 4 \\ a_{23} = -1 $$

Dove gli elementi a11, a12, a13 sono i coefficienti della prima riga della matrice.

Gli elementi a21, a22, a23 sono i coefficienti della seconda riga della matrice.

Attenzione. L'ordine degli elementi è fondamentale in una matrice. Una diversa disposizione degli elementi genera una matrice diversa. Ad esempio, definisco una matrice B invertendo le righe della matrice A. $$ A : = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 6 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} $$ $$ B : = \begin{pmatrix} 0 & 4 & -1 \\ 3 & 1 & 6 \end{pmatrix} $$ Le matrici A e B hanno gli stessi elementi ma sono matrici diverse. E' importante ricordarlo.

Gli insiemi delle matrici

L'insieme di tutte le matrici di dimensione mxn con elementi reali ( matrici reali ) è indicato con la notazione Mm,n(R) oppure M(m,n,R).

$$ M_{m,n}(R) = M(m,n,R) $$

L'insieme delle matrici quadrate si indica in questo modo

$$ M_{n,n}(R) = M(n,n,R) $$

Esempio

La matrice A è una matrice composta da 2 righe e 3 colonne.

$$ A : = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 6 \\ 0 & 4 & -1 \end{pmatrix} $$

Pertanto, la matrice A appartiene all'insieme delle matrici di tipo 2x3.

$$ A \in M(2,3,R) $$

Nota. La matrice A appartiene all'insieme delle matrici di tipo 2x3 a coefficienti reali ossia M(2,3,R). Pertanto, i suoi elementi non sono soltanto numeri interi bensì numeri reali (R). Se voglio definire una matrice composta solo di numeri interi devo scrivere M(2,3,Z) dove Z è l'insieme dei numeri interi. L'insieme delle matrici M(2,3,Z) è un sottoinsieme di M(2,3,R) poiché, a parità di dimensioni delle matrici, i numeri interi sono un sottoinsieme dei numeri reali Z⊂R .

Tipi di matrici

In base alla dimensione, al numero di righe e di colonne, posso distinguere le seguenti tipologie di matrici:

  • La matrice rettangolare. Sono matrici con più righe (m>1) e colonne (n>0) in cui il numero di righe non eguaglia il numero delle colonne (m≠n). Da questa caratteristica deriva la sua forma rettangolare.
    esempi di matrici rettangolari
  • La matrice quadrata. Sono matrici con lo stesso numero di righe e colonne ( m=n ). Da questa caratteristica deriva la sua forma quadrata.
    esempio di matrice quadrata
  • La matrice riga. Sono matrici 1xn con una sola riga ( m=1 ).
    un esempio di matrice riga
  • La matrice colonna. Sono matrici mx1 con una sola colonna ( n=1 ).
    un esempio di matrice colonna
  • La matrice nulla. Sono matrici senza nessun elemento, senza righe ( m=0) e senza colonne ( n=0 ).

Come rappresentare un sistema lineare con una matrice

Dato un sistema lineare A composto da m equazioni e n variabili

un esempio di sistema di equazioni lineari

il sistema lineare è sempre associabile a due matrici:

  1. La matrice dei coefficienti ( o matrice incompleta ) è una matrice di m righe e n colonne, in cui gli elementi sono i coefficienti amn delle equazioni nel sistema lineare.
    la matrice dei coefficienti
  2. La matrice completa ( o matrice orlata ) è una matrice di m righe e n+1 colonne, composta sia dai coefficienti amn che dai termini noti bm del sistema lineare.
    la matrice completa del sistema lineare

    Nota. In pratica la matrice completa è la matrice dei coefficienti con l'aggiunta della colonna dei termini noti.

Un esempio pratico

Questo sistema lineare è formato da due equazioni e tre variabili.

esempio di sistema lineare

La matrice dei coefficienti A è la seguente:

la matrice incompleta del sistema lineare

Nota. Nella seconda equazione del sistema (x1-4x2=6) non c'è la variabile x3. In questi casi si mette il valore zero nell'elemento corrispondente della matrice.

La matrice completa A|B del sistema è, invece, la seguente:

un esempio di matrice completa

Nota. Alla matrice dei coefficienti ho aggiunto semplicemente la colonna dei termini noti.

E così via.


 
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knowledge base
  1. Le matrici
  2. La matrice quadrata
  3. La somma delle matrici
  4. Il prodotto di uno scalare e una matrice
  5. La moltiplicazione tra matrici
  6. La potenza della matrice
  7. Il determinante
  8. Il rango
  9. L'operazione pivot