I sottogruppi

Un sottogruppo di un gruppo (G,*) è un gruppo (S,*) contenuto in (G,*) chiuso alla stessa operazione * del gruppo (G,*) $$ *:S \rightarrow S $$ e che soddisfa tutte le proprietà dei gruppi (elemento neutro, elementi inversi, associatività).

L'insieme S del sottogruppo (S,*) è un sottoinsieme dell'insieme G

$$ S \subseteq G $$

Pertanto, un sottogruppo (S,*) consente una restrizione delle operazioni * ammesse nel gruppo (G,*).

Nota. Un gruppo (G,*) può avere uno o più sottogruppi, oppure non averne affatto.I sottogruppi sono detti sottogruppi impropri se il sottoinsieme S contiene gli stessi elementi S=G oppure soltanto l'elemento neutro S={u} del gruppo (G,*).Tutti gli altri sottogruppi sono, invece, detti sottogruppi propri.

Ogni sottogruppo (S,*) soddisfa la proprietà associativa e include lo stesso elemento neutro (u) del gruppo (G,*).

$$ u \in G, S $$

Inoltre, ogni elemento del sottogruppo è associato a un elemento inverso.

$$ s, s^{-1} \in S $$

Nota. Da un punto di vista più astratto i sottogruppi sono caratterizzati da un omomorfismo inettivo di gruppi $$ F: (S,*)->(S',*) $$ Pertanto, i sottogruppi ereditano le stesse proprietà del gruppo che li comprende. Ad esempio, se (G,*) è un gruppo abeliano, allora anche il sottogruppo (S,*) è un gruppo abeliano.

Un esempio pratico

Considero il gruppo moltiplicativo (Q₀,·) composto dall'insieme dei numeri razionali non nulli Q₀=Q-{0}

$$ (Q_0,·) $$

L'elemento neutro del gruppo è u=1

$$ u=1 $$

L'insieme dei numeri razionali positivi Q⁺ è un sottogruppo moltiplicativo di (Q₀,·)

$$ (Q^+,·) $$

perché

1. Q⁺ è un sottoinsieme di Q₀ $$ Q^+ \subseteq Q_0 $$
2. Q⁺ include lo stesso elemento neutro di (Q₀,·) ossia u=1 $$ u=1 \in Q^+ $$
3. Q⁺ è chiuso rispetto alla moltiplicazione. Presi due elementi a,b qualsiasi di Q⁺, il prodotto a·b appartiene sempre a Q⁺ $$ a \cdot b \in Q^+ \ \ \ \forall \ a,b \in Q^+ $$
4. Q⁺ soddisfa la proprietà associativa della moltiplicazione $$ a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b ) \cdot c \ \ \ \forall \ a,b,c \in Q^+ $$
5. Ogni elemento di Q⁺ ha un elemento opposto in Q⁺. Ad esempio, l'elemento opposto di 2 è 1/2. $$ 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 = u $$

Pertanto, l'insieme dei numeri razionali positivi Q⁺ è un sottogruppo moltiplicativo (Q⁺,·) del gruppo (Q₀,·)

Esempio 2

Considero un gruppo (A,·) composto da un insieme finito A={1, -1} rispetto all'operazione della moltiplicazione (·)

$$ (A,\cdot) $$

Perché (A,·) è un gruppo? Si tratta di un gruppo perché soddisfa tutte le proprietà dei gruppi. E' presente un elemento neutro nell'insieme A. $$ e=1 $$ Ogni elemento di A ha un elemento inverso in A $$ 1 \cdot 1 = e $$ $$ -1 \cdot -1 = e $$ L'operazione di moltiplicazione è chiusa nell'insieme A e soddisfa la proprietà associativa.

Una volta stabilito che (A,·) è effettivamente un gruppo, verifico se esistono dei sottogruppi

Un sottogruppo (S,·) è composto dal sottoinsieme S={1} e dalla stessa operazione del gruppo (·)

$$ (S,\cdot) $$

Viceversa, il sottoinsieme T={-1} non è un sottogruppo rispetto alla moltiplicazione (·)

Perché S={1} è un sottogruppo ma T={-1} non lo è?

Per spiegarlo costruisco la tavola moltiplicativa del sottoinsieme S={1} rispetto alla moltiplicazione (·)

a·b	1
1	1

Verifico se il sottoinsieme S={-1} soddisfa tutte le condizioni per essere un sottogruppo di (A,·)

• E' un sottoinsieme S⊆A dell'insieme A del gruppo (A,·)
• E' chiuso rispetto alla moltiplicazione (·) perché 1∈S
• Include l'elemento neutro (1) del gruppo (A,·)
• Ogni elemento del sottoinsieme s∈S ha un elemento inverso s^-1∈S
  

  Nota. Il sottoinsieme S ha un solo elemento {1} che moltiplicato per se stesso è uguale all'elemento neutro del gruppo (1). $$ 1 \cdot 1 = 1 $$ In questo caso il numero 1 è l'inverso di se stesso, essendo l'elemento neutro.

• L'operazione (·) applicata al sottoinsieme S soddisfa la proprietà di associativa

  Nota. Secondo la proprietà associativa $$ (1·1)·1 = 1·(1·1) $$ Entrambi i membri dell'equazione sono uguali a 1. Quindi, anche la condizione associativa è soddisfatta.

Tutte le condizioni sono soddisfatte.

Pertanto, il sottoinsieme S rispetto all'operazione della moltiplicazione (·) è un sottogruppo di (A,·)

$$ (S,·) ⊂ (A,·) $$

Nota. Il sottogruppo (S,·) eredita tutte le proprietà del gruppo (A,·). Ad esempio, il gruppo (A,·) è un gruppo abeliano perché soddisfa la proprietà commutativa. Anche il sottogruppo (S,·) è abeliano.

Ora verifico se il sottoinsieme T={-1} è un sottogruppo di (A,·)

Costruisco la tavola moltiplicativa del sottoinsieme S={1} rispetto alla moltiplicazione (·)

a·b	-1
-1	1

Poi verifico se il sottoinsieme T={-1} soddisfa tutte le condizioni per essere un sottogruppo di (A,·)

• E' un sottoinsieme T⊆A dell'insieme A del gruppo (A,·)
• Non è chiuso rispetto alla moltiplicazione (·) perché (-1)·(-1)=1∉T

Una proprietà non è soddisfatta. Quindi, è inutile procedere.

Tanto basta per affermare che il sottoinsieme T non è un sottogruppo di (A,·)

Esempio 2

Considero un gruppo composto dall'insieme finito di numeri interi Z₄={0,1,2,3} dell'aritmetica modulare e dall'operazione di addizione +

$$ (Z_4, +) $$

Si tratta di un gruppo ciclico e abeliano.

Costruisco la tavola dell'operazione del gruppo.

a+b	0	1	2	3
0	0	1	2	3
1	1	2	3	0
2	2	3	0	1
3	3	0	1	2

I sottoinsiemi propri di Z₄ sono {0} , {1}, {2}, {3}, {0,1}, {0,2} , {0,3}, {1,2} , {1,3} , {2,3} , {1,2,3} , {0,2,3} , {0,1,3} , {0,1,2}

Verifico se esistono dei sottoinsiemi propri in grado di formare dei sottogruppi di (Z₄,+) rispetto all'operazione di addizione (+)

• I sottogruppi {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} non sono sottogruppi perché non includono l'elemento neutro e=0
• Il sottoinsieme {0,1} non forma un sottogruppo perché non è chiuso. Ad esempio 1+1=2∉{0,1}
• Il sottoinsieme {0,3} non forma un sottogruppo perché non è chiuso. Ad esempio 3+3=2∉{0,3}
• Il sottoinsieme {0,2,3} non forma un sottogruppo perché non è chiuso. Ad esempio 2+3=1∉{0,2,3}
• Il sottoinsieme {0,1,3} non forma un sottogruppo perché non è chiuso. Ad esempio 0+3=2∉{0,2,3}
• Il sottoinsieme {0,1,2} non forma un sottogruppo perché non è chiuso. Ad esempio 2+1=3∉{0,1,2}

Il sottoinsieme {0,2} è, invece un sottogruppo perché

• {0,2} è chiuso rispetto all'addizione. Ad esempio 0+2=2∈{0,2}, 2+2=0∈{0,2}, 0+0=0∈{0,2}.
• Include l'elemento neutro e=0.
• Ogni elemento di {0,2} ha un elemento inverso. Ad esempio, 0+0=e , 2+2=e

Per verificare meglio costruisco la tavola del sottoinsieme {0,2} rispetto all'addizione

a+b	0	2
0	0	2
2	2	0

E' effettivamente un sottogruppo di (Z₄,+)

$$ ( \{ 0,2 \} \ , \ + ) ⊆ (Z_4, +) $$

Inoltre, eredita le stesse proprietà di (Z₄,+).

Ad esempio, anche il sottogruppo ({0,2},+) è un gruppo ciclico ed è un gruppo abeliano.

Nota. Anche il sottoinsieme banale {0} forma un sottogruppo. $$ ( \{ 0 \} \ , \ + ) ⊆ (Z_4, + ) $$ E' chiuso rispetto all'addizione in quanto 0+0=0∈{0}. Include l'elemento neutro e=0. Ogni elemento ha un inverso. In questo caso l'elemento 0 è l'inverso di se stesso poiché 0+0=e.

E così via.