Il minore della matrice
Un minore di una matrice A di ordine n è il determinante di una sottomatrice quadrata di ordine p ( con p≤n ) ottenuta eliminando m-p righe e n-p colonne.
Va sottolineato che il minore è il determinante della sottomatrice ( matrice complementare ). E' uno scalare e non una matrice.
In alcuni testi, comunque, viene definito minore anche la sottomatrice.
Cos'è l'ordine del minore? L'ordine del minore è il numero delle righe (o colonne) della matrice minore. Ad esempio, la precedente sottomatrice è un minore di ordine 3 perché è composta da tre righe e tre colonne.
Come calcolare un minore della matrice
Il minore si ottiene intersecando n righe e n colonne di A opportunamente scelte.
- Si scelgono delle righe i,j da rimuovere dalla matrice.
- Ciò che resta è una matrice complementare quadrata Aik .
- Il determinante della matrice complementare Aik è detto minore.
Nota. Gli indici i e j indicano le righe e le colonne eliminate dalla matrice A per ottenere la sottomatrice quadrata minore.
Nel caso dei minori di ordine 1, il minore è composto soltanto da un elemento.
Un esempio pratico
Data la seguente matrice 3x3 provo a calcolare tutti i minori.
Nota. La matrice di origine potrebbe anche non essere quadrata. Tutte le matrici sono composte da minori. I minori, invece, devono essere matrici quadrate o di ordine 1.
Si tratta di una matrice di ordine 3 con tre righe (m=3) e tre colonne(n=3).
Quindi, è composta da minori di ordine minore o uguale a 3.
I minori di ordine 2
Per estrapolare un minore di ordine 2 (p=2) occorre eliminare una riga (m-p=1) e una colonna (n-p=1) alla volta per ciascun elemento della matrice.
Poi calcolare il determinante della sottomatrice.
Spiegazione. Quando calcolo il minore A31 elimino la terza riga ( 7 8 9 ) e la prima colonna ( 1 4 7 ) della matrice. Ciò che resta della matrice sono gli elementi nelle righe 2 3 e 5 6 che formano il minore A31. Con lo stesso procedimento calcolo anche gli altri minori di ordine 2.
I minori di ordine 1
La matrice è anche composta da nove minori di ordine 1.
Per estrapolare un minore di ordine 1 (p=1) occorre eliminare due righe (m-p=2) e due colonne (n-p=2) alla volta.
In questo caso il determinante ( minore ) coincide con l'unico elemento della sottomatrice.
Nota. Il minore di ordine 3 è, invece, il determinante della matrice stessa. In questo caso, per estrarre un minore di ordine 3 (p=3) non bisogna eliminare nessuna riga (m-p=0) e nessuna colonna (n-p=0).
