Matrici unimodulari

Una matrice quadrata M di dimensione m è detta matrice unimodulare se è composta da numeri interi e ha un determinante uguale a +1 o -1 $$ \det(M)= \pm 1 $$

Un esempio pratico

Questa matrice quadrata di dimensione m=2

$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

è una matrice unimodulare perché il suo determinante è uguale a 1

$$ det \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1 = 1 $$

Esempio 2

Questa matrice quadrata di dimensione m=2

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

è una matrice unimodulare perché il suo determinante è uguale a -1

$$ det \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 3 = -1 $$

Proprietà delle matrici unimodulari

Alcune proprietà delle matrici unimodulari.

• Il prodotto di due matrici unimodulari è un'altra matrice unimodulare.

  Esempio. Il prodotto tra due matrici unimodulari $$ \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 + 2 \cdot3 & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 \\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot3 & 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+6 & 3+4 \\ 1+3 & 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} $$ è a sua volta una matrice unimodulare $$ det \begin{pmatrix} 9 & 7 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = 9 \cdot 3 - 7 \cdot 4 = 27 - 28 = -1 $$

• La matrice inversa di una matrice unimodulare è un'altra matrice unimodulare.

  Esempio. La matrice unimodulare $$ M= \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$ è invertibile e la sua matrice inversa è $$ M^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} $$ ed è a sua volta una matrice unimodulare $$ \det M^{-1}= \det \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-1) = 3 - 2 = 1 $$

• Tutte le matrici identità sono matrici unimodulari.

  Esempio. La matrice identità di ordine 2 $$ I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ è una matrice unimodulare $$ \det I_2= \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 = 1 - 0 = 1 $$

E così via.