Le matrici simili

Due matrici A e B di ordine n si dicono simili se esiste una matrice invertibile M tale che:
matrici simili

In tale caso le due matrici si indicano con l'operatore della similitudine ∼ ( tilde )

La similitudine è una relazione di equivalenza nell'insieme di tutte le matrici di ordine n.

Le proprietà delle matrici simili

  1. Ogni matrice è simile a se stessa
  2. Se la matrice A è simile a B, la matrice B è simile a A
  3. Se la matrice A è simile a B e la matrice B è simile a C, allora la matrice A è simile C.
  4. Due matrici simili condividono gli stessi autovalori e hanno lo stesso determinante, rango e traccia.
  5. Due matrici simili sono un endomorfismo rispetto alle basi diverse B1 e B2 di uno spazio vettoriale V.
  6. Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.

    Un esempio pratico di matrici inverse

    Queste due matrici A e B

    $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

    $$ B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

    Sono simili perché esiste una matrice invertibile M

    $$ M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} $$

    $$ M^{-1} = \begin{pmatrix} 1/6 & -1/3 & 1/6 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \end{pmatrix} $$

    Tale che

    $$ M^{-1}AM = B $$

    Infatti

    $$ \begin{pmatrix} 1/6 & -1/3 & 1/6 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/2 & 0 & -1/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

    E così via

     


     

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