La matrice nulla
Una matrice è detta matrice nulla se tutti gli elementi della matrice sono uguali a zero. $$ 0_{mxn} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & ... & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & ... & 0 \end{pmatrix} $$ E' anche detta matrice zero o matrice vuota.
Una matrice nulla può essere sia quadrata che rettangolare, contenente numeri interi o reali e di qualsiasi dimensione.
Un esempio pratico
Ad esempio, una matrice nulla 2x2 è composta da quattro elementi tutti uguali a zero
$$ 0_{2x2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Altri esempi di matrici nulle sono le seguenti
$$ 0_{2x3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ 0_{3x2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ 0_{1x1} = \begin{pmatrix} 0 \end{pmatrix} $$
Le proprietà delle matrici nulle
1] Elemento neutro dell'addizione
Le matrici nulle sono l'elemento neutro rispetto all'addizione, perché gli zeri non influiscono sulla somma.
La somma di qualsiasi matrice M per la matrice nulla con lo stesso numero di righe e di colonne è uguale alla matrice stessa.
$$ M + 0 = 0 + M = M $$
Ad esempio, considero la matrice quadrata M
$$ M_{2x2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
La somma della matrice M con la matrice quadrata nulla 02x2 è sempre la matrice M stessa
$$ M_{2x2} + 0_{2x2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 2+0 \\ 3+0 & 4+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
2] Elemento assorbente del prodotto
Le matrici nulle sono anche l'elemento assorbente della moltiplicazione.
Il prodotto tra due matrici quadrate con la stessa dimensione è la matrice nulla, se una delle due matrici .
$$ M \cdot 0 = 0 \cdot M = 0 $$
Ad esempio, considero la matrice quadrata M
$$ M_{2x2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Il prodotto tra la matrice M e la matrice quadrata nulla 02x2 è sempre la matrice nulla
$$ M_{2x2} \cdot 0_{2x2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 & 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$
E così via.
