Il seno di una matrice
Il seno di una matrice \( A \) si calcola usando la serie di Taylor per il seno. $$ \sin(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} A^{2k+1} $$
In pratica, in trigonometria per calcolare il seno di una matrice devo valutare questa serie infinita, calcolo le potenze della matrice \( A \) e le moltiplico per i coefficienti corrispondenti.
Questa serie converge per tutte le matrici \( A \).
Nota. Il seno di una matrice è utile in diverse applicazioni, specialmente in fisica e ingegneria, per descrivere sistemi dinamici e risolvere equazioni differenziali matriciali.
Un esempio pratico
Considero la matrice \( A \)
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$
Questa matrice rappresenta una rotazione e ha una struttura molto semplice che rende i calcoli relativamente facili.
Ora, calcolo \( \sin(A) \) usando i primi termini della serie di Taylor.
$$ \sin(A) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} A^{2k+1} $$
La serie per \( \sin(A) \) è:
$$ \sin(A) = A - \frac{A^3}{3!} + \frac{A^5}{5!} - \dots $$
Per semplificare, noto che la potenza $ A^2 $ della matrice è:
$$ A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -I $$
Dove \( I \) è la matrice identità.
Nota. La potenza di una matrice si calcola moltiplicando la matrice $ A $ per se stessa. Non si calcola elevando gli elementi per l'esponente della potenza. Quindi, per calcolare \( A^2 \) della matrice devo svolgere la moltiplicazione tra matrici \( A \cdot A \):
$$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} $$ $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) & 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \end{pmatrix} $$ $$ A^2 = \begin{pmatrix} 0 - 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & -1 + 0 \end{pmatrix} $$ Quindi, il risultato è: $$ A^2 = \begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$ Questo risultato corrisponde a \(-I\), dove \(I\) è la matrice identità. $$ A^2 = - I $$
Di conseguenza, sapendo che $ A^2 = -I $ posso calcolare rapidamente anche $ A^3 $
$$ A^3 = A \cdot A^2 = A \cdot (-I) = -A $$
Allo stesso modo, deduco che $ A^4 = I $
$$ A^4 = A^2 \cdot A^2 = (-I) \cdot (-I) = I $$
Di conseguenza $ A^5 = A $ perché il prodotto tra una matrice qualsiasi $ A $ e la matrice identità $ I $ è la matrice $ A $ stessa.
$$ A^5 = A \cdot A^4 = A \cdot I = A $$
Quindi, sapendo che $ A^3 =-A $ e $ A^5 = A $ la serie diventa:
$$ \sin(A) = A - \frac{A^3}{3!} + \frac{A^5}{5!} - \dots $$
$$ \sin(A) = A - \frac{(-A)}{3!} + \frac{A}{5!} - \dots $$
Sommando i primi termini, dato che i successivi si ripetono ciclicamente, ottengo una buona approssimazione per \( \sin(A) \):
$$ \sin(A) \approx A \left(1 - \frac{1}{3!} + \frac{1}{5!} - \dots \right) $$
Questo procedimento converge rapidamente e fornisce una rappresentazione pratica di \( \sin(A) \).
E così via.
