La matrice aggiunta
La matrice aggiunta è la trasposta della matrice dei cofattori. E' generalmente indicata con la notazione adj.
Come calcolare la matrice aggiunta
Data una matrice A
Si calcola la matrice dei cofattori di A.
Cosa sono i cofattori? I cofattori ( o complementi algebrici ) sono il minore complementare degli elementi aij di una matrice A, moltiplicato per (-1)^i+j.
La matrice dei cofattori cof(A) è la seguente:
$$ cof(A) = \begin{pmatrix} (-1)^{1+1} det(A_{1,1}) & (-1)^{1+2} det(A_{1,2}) & (-1)^{1+3} det(A_{1,3}) \\ (-1)^{2+1} det(A_{2,1}) & (-1)^{2+2} det(A_{2,2}) & (-1)^{2+3} det(A_{2,3}) \\ (-1)^{3+1} det(A_{3,1}) & (-1)^{3+2} det(A_{3,2}) & (-1)^{3+3} det(A_{3,3}) \end{pmatrix} $$
$$ cof(A) = \begin{pmatrix} (-1)^{2} \cdot det \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} & (-1)^{3} \cdot det \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} & (-1)^{4} \cdot det \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ (-1)^{3} \cdot det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} & (-1)^{4} \cdot det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} & (-1)^{5} \cdot det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \\ (-1)^{4} \cdot det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} & (-1)^{5} \cdot det \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} & (-1)^{6} \cdot det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} $$
$$ cof(A) = \begin{pmatrix} (1) \cdot (-2) & (-1) \cdot (-6) & (1) \cdot (-1) \\ (-1) \cdot 1 & (1) \cdot (-4) & (-1) \cdot (-3) \\ (1) \cdot 4 & (-1) \cdot (5) & (1) \cdot 2 \end{pmatrix} $$
$$ cof(A) = \begin{pmatrix} -2 & 6 & -1 \\ -1 & -4 & 3 \\ 4 & -5 & 2 \end{pmatrix} $$
Poi calcolo la matrice trasposta della matrice dei cofattori cof(A)T
$$ cof(A)^T = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 4 \\ 6 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix} = adj(A) $$
Quest'ultima matrice è detta matrice aggiunta di A.
