Trasposta coniugata di una matrice

La trasposta coniugata è uno strumento essenziale nello studio delle matrici unitarie \( U^{\dagger}U = I \) e delle matrici ermitiane \( H^{\dagger} = H \)

Nota. La trasposta coniugata si chiama anche "aggiunta ermitiana" ma non va confusa con la matrice aggiunta nel senso classico, che è la trasposta della matrice dei cofattori e serve per calcolare l’inversa: $$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) $$ Si tratta di un concetto completamente diverso.

Esempio pratico

Considero la matrice complessa

$$ U = \begin{pmatrix} i & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Calcolo la trasposta scambiando righe e colonne:

$$ U^T = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

In questo caso è sempre la stessa matrice perché è diagonale, gli elementi non nulli si trovano solo sulla diagonale principale.

Poi calcolo il coniugato complesso di ogni elemento della matrice.

Nota. Il coniugato di un numero complesso si calcola semplicemente invertendo il segno della parte immaginaria. Ad esempio $ \overline{a + bi} = a - bi $ e nel caso dell'unità immaginaria $ \overline{i} = -i $.   Per i numeri reali non cambia nulla, poiché la parte immaginaria è nulla. Ad esempio, $ \overline{1} = \overline{1+0} = 1 $. Quindi, se la matrice ha solo numeri reali, il coniugato non cambia nulla $$ A^{\dagger} = A^T $$ In questo caso la trasposta coniugata coincide con la semplice trasposta della matrice.

Nella matrice c'è solo un elemento complesso, l'unità immaginaria $ i $, e il coniugato di $ i $ è $ -i $.

$$ U^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Il risultato finale è la trasposta coniugata di \( U \),

Proprietà delle matrici coniugate

Le trasposte coniugate si comportano in modo analogo alle trasposte ordinarie, ma con l’aggiunta dell’operazione di coniugazione complessa.

Ecco le proprietà fondamentali e cosa significano.

• Doppia coniugazione
  Quando si calcola la trasposta coniugata due volte di seguito, si torna alla matrice di partenza. $$ (A^{\dagger})^{\dagger} = A $$

  Ad esempio:
  $$ A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 0 & 2i \end{pmatrix} $$ Per calcolare la trasposta coniugata, scambio righe e colonne e cambio il segno della parte immaginaria di ogni elemento. Ottengo: $$ A^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 1 & -2i \end{pmatrix} $$ Se applico di nuovo la stessa operazione, cioè calcolo la trasposta coniugata di \( A^{\dagger} \), le righe e le colonne vengono riscambiate e i segni ritornano quelli iniziali: $$ (A^{\dagger})^{\dagger} = \begin{pmatrix} i & 1 \\ 0 & 2i \end{pmatrix} = A $$ La prima † trasforma la matrice, la seconda annulla gli effetti della prima. In conclusione, la doppia trasposta coniugata restituisce sempre la matrice originale.

• Prodotto di matrici
  Quando si calcola la trasposta (o la trasposta coniugata) di un prodotto, l’ordine dei fattori si inverte. La coniugazione complessa si applica poi a ciascun elemento: $$ (AB)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger} $$

  Ad esempio:
  $$ A = \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & i \end{pmatrix} $$ Calcolo il prodotto: $$ AB = \begin{pmatrix} i & i \\ 0 & i \end{pmatrix}. $$ Ora la trasposta coniugata di \( AB \) è: $$ (AB)^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ -i & -i \end{pmatrix}. $$ Separatamente, $$ A^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -i \end{pmatrix}. $$ Il loro prodotto è: $$ B^{\dagger}A^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ -i & -i \end{pmatrix}. $$ Poiché $$ (AB)^{\dagger} = B^{\dagger}A^{\dagger}, $$ la proprietà è verificata.

• Somma di matrici
  La trasposta coniugata si applica elemento per elemento, quindi la somma si conserva: $$ (A + B)^{\dagger} = A^{\dagger} + B^{\dagger} $$

  Ad esempio:
  $$ A = \begin{pmatrix} i & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 3i & 0 \end{pmatrix} $$ Sommiamo le due matrici elemento per elemento: $$ A + B = \begin{pmatrix} i + 1 & 2 + i \\ 3i + 0 & 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + i & 2 + i \\ 3i & 1 \end{pmatrix} $$ Ora calcolo la trasposta coniugata: $$ (A + B)^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 - i & -3i \\ 2 - i & 1 \end{pmatrix} $$ Separatamente, $$ A^{\dagger} = \begin{pmatrix} -i & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad B^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 & -3i \\ -i & 0 \end{pmatrix} $$ e la loro somma è $$ A^{\dagger} + B^{\dagger} = \begin{pmatrix} 1 - i & -3i \\ 2 - i & 1 \end{pmatrix}. $$ Poiché $$ (A + B)^{\dagger} = A^{\dagger} + B^{\dagger}, $$ la proprietà è verificata.

• Fattore complesso
  Quando moltiplico la matrice per un numero complesso \( c \), la coniugata trasposta cambia anche il segno della parte immaginaria di quel coefficiente: $$ (cA)^{\dagger} = \overline{c}\,A^{\dagger} $$

  Ad esempio $$ c = 2i, \quad A = \begin{pmatrix} 1 & i \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \Rightarrow cA = \begin{pmatrix} 2i & -2 \\ 0 & 4i \end{pmatrix} $$ Ora calcolo la trasposta coniugata di \( cA \): $$ (cA)^{\dagger} = \begin{pmatrix} -2i & 0 \\ -2 & -4i \end{pmatrix} $$ D’altra parte, poiché \( \overline{c} = -2i \), $$ \overline{c}\,A^{\dagger} = (-2i) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -i & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2i & 0 \\ -2 & -4i \end{pmatrix} $$ quindi: $$ (cA)^{\dagger} = \overline{c}\,A^{\dagger} $$

Queste proprietà rendono la trasposta coniugata uno strumento fondamentale nello studio delle matrici unitarie, ermitiane e degli operatori lineari negli spazi vettoriali complessi.

E così via.