Scomposizione del trinomio di secondo grado
Come scomporre un trinomio di secondo grado
Un trinomio di secondo grado ax2+bx+c=0 con discriminante non negativo Δ≥0 posso scomporlo in un'espressione equivalente del tipo a(x-x1)(x-x2). $$ ax^2 + bx + c = a \cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) $$ Dove x1 e x2 sono le soluzioni reali (dette zeri) dell'equazione.
Le equazioni di 2° grado con discriminante nullo, invece, hanno una doppia soluzione reale coincidente x1=x2
Quindi, posso ridurle anche raccogliendo (x-x1) alla seconda
$$ ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2) = a(x-x_1)(x-x_1) = a(x-x_1)^2 $$
Nota. Le equazioni di 2° grado con discriminante negativo sono irriducibili perché non hanno soluzioni reali. Pertanto, in questo caso la formula di riduzione non è applicabile.
Un esempio pratico
Considero l'equazione di 2° grado
$$ 4x^2 - 3x - 1 = 0 $$
Il discriminante dell'equazione è positivo.
$$ \Delta = b^2-4ac = (-3)^2 - 4(4)(-1) = 9 + 16 = 25 $$
Pertanto, l'equazione ha due soluzioni reali x1 e x2 ed è riducibile
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a} $$
$$ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4(4)(-1)} }{2(4)} $$
$$ x = \frac{3 \pm \sqrt{9+16} }{8} $$
$$ x = \frac{3 \pm \sqrt{25} }{8} $$
$$ x = \frac{3 \pm 5 }{8} $$
$$ x = \begin{cases} x_1 = \frac{3 - 5 }{8} = \frac{-2}{8} = - \frac{1}{4} \\ \\ x_2 = \frac{3 - 5 }{8} = \frac{8}{8} = 1 \end{cases} $$
Le radici (soluzioni o zeri) dell'equazione sono x1=-1/4 e x2=1
Quindi, posso ridurre l'equazione in questa forma equivalente a(x-x1)(x-x2)
$$ ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2) = 0 $$
Sapendo che a=4, b=-1, c=-1, x1=-1/4, x2=1
$$ 4x^2 -3x -1 = 4 \cdot (x-(- \frac{1}{4}))(x-1) = 0$$
$$ 4x^2 -3x -1 = 4 \cdot (x + \frac{1}{4})(x-1) = 0$$
Pertanto, l'equazione iniziale posso ridurla in questa forma equivalente
$$ 4 \cdot (x + \frac{1}{4}) \cdot (x-1) = 0$$
Verifica. Per verificare l'equivalenza svolgo i calcoli a partire dalla forma ridotta. $$ 4 \cdot (x + \frac{1}{4})(x-1) = 0$$ $$ (4x + \frac{4}{4})(x-1) = 0$$ $$ (4x + 1)(x-1) = 0 $$ $$ 4x^2-4x+x-1 = 0 $$ $$ 4x^2-3x-1 = 0 $$ Il risultato finale è l'equazione di 2° grado iniziale. L'equivalenza è confermata.
La dimostrazione
Considero un'equazione di 2° grado in generale
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
Metto in evidenza il primo coefficiente (a)
$$ a \cdot (x^2 + \frac{bx}{a} + \frac{c}{a} ) = 0 $$
$$ a \cdot (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} ) = 0 $$
Per la regola della somma delle radici vale -b/a=x1+x2
Quindi, sostituisco nell'equazione b/a con -(x1+x2)
$$ a \cdot [x^2 - (x_1+x_2) x + \frac{c}{a} ] = 0 $$
Per la regola del prodotto delle radici vale c/a=x1·x2
Quindi, sostituisco nell'equazione c/a con x1·x2
$$ a \cdot [ x^2 - (x_1+x_2) x + x_1 \cdot x_2 ] = 0 $$
Poi svolgo i calcoli
$$ a \cdot [ x^2 - x_1x - x_2x + x_1 \cdot x_2 ] = 0 $$
$$ a \cdot [ x (x - x_1) - x_2x + x_1 \cdot x_2 ] = 0 $$
$$ a \cdot [ x (x - x_1) - x_2 (x-x_1) ] = 0 $$
Ora raccolgo per (x-x1)
$$ a \cdot [ (x - x_1) (x- x_2) ] = 0 $$
$$ a \cdot (x - x_1) (x- x_2) = 0 $$
In questo modo ho dimostrato la formula iniziale.
E così via
