La formula ridotta di risoluzione delle equazioni di secondo grado

Quando l'equazione di 2° grado ha coefficiente b pari $$ ax^2+bx+c=0 $$ per risolverla posso applicare anche la formula ridotta di risoluzione $$ x = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{b}{2} \end{pmatrix}^2 - ac }}{a}$$ in alternativa alla formula di risoluzione generale.

La formula ridotta semplifica i calcoli perché divide per due sia il numeratore che il denominatore.

Un esempio pratico

Considero l'equazione

$$ 4x^2 - 4x - 3 = 0 $$

Il coefficiente b=-4 è un numero pari.

Quindi, applico la formula ridotta di risoluzione.

$$ x = \frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{b}{2} \end{pmatrix}^2 - ac }}{a}$$

Sostituisco i coefficienti con a=4, b=-4 e c=-3

$$ x = \frac{-\frac{(-4)}{2} \pm \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{-4}{2} \end{pmatrix}^2 - (4)(-3) }}{4}$$

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{ (-2)^2 + 12 }}{4}$$

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{ 4 + 12 }}{4}$$

$$ x = \frac{2 \pm \sqrt{ 16 }}{4}$$

Il discriminante è positivo.

Pertanto, l'equazione ha due soluzioni reali distinte.

$$ x = \frac{2 \pm 4}{4} = \begin{cases} x = \frac{2 - 4}{4} = - \frac{1}{2} \\ \\ x = \frac{2 + 4}{4} = \frac{3}{2} \end{cases} $$

Nota. Se avessi usato la formula generale di risoluzione delle equazioni di 2° grado il risultato sarebbe stato lo stesso. I calcoli sarebbero però stati leggermente più complessi perché più alti. $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ Sostituisco i coefficienti con a=4, b=-4 e c=-3 $$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4(4)(-3)}}{2(4)} $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{16+48}}{8} $$ $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{8} $$ Il discriminante è positivo. Quindi, l'equazione ha due soluzioni reali distinte. $$ x = \frac{4 \pm 8}{8} \begin{cases} x = \frac{4 - 8}{8} = - \frac{1}{2} \\ \\ x = \frac{4 + 8}{4} = \frac{3}{2} \end{cases} $$

La dimostrazione

La funzione di risoluzione di un'equazione di 2° grado è la seguente

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$

Metto in evidenza 4 nel radicando

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{4 \cdot (\frac{b^2}{4}-ac)}}{2a} $$

In questo modo posso far uscire il fattore 4 dalla radice

$$ x = \frac{-b \pm 2 \sqrt{\frac{b^2}{4}-ac}}{2a} $$

$$ x = \frac{-b \pm 2 \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{b}{2} \end{pmatrix}^2 -ac}}{2a} $$

Per la proprietà invariantiva delle frazioni divido per due il numeratore e il denominatore

$$ x = \frac{ \frac{-b \pm 2 \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{b}{2} \end{pmatrix}^2 -ac} }{2} }{\frac{2a}{2}} $$

$$ x = \frac{\frac{-b}{2} \pm \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{b}{2} \end{pmatrix}^2 -ac} }{a} $$

$$ x = \frac{\frac{-b}{2} \pm \sqrt{ \begin{pmatrix} \frac{b}{2} \end{pmatrix}^2 -ac} }{a} $$

Il risultato finale è la formula ridotta di risoluzione delle equazioni di 2° grado.

Nota. Nella formula ridotta il radicando è uguale al discriminante Δ della formula risolutiva generale diviso per 4. $$ \frac{\Delta}{4} = \frac{b^2-4ac}{4} = \frac{b^2}{4} - ac = \begin{pmatrix} \frac{b}{2} \end{pmatrix}^2 -ac $$

E così via.