Numeri complessi

Cosa sono i numeri complessi

Un numero complesso z è una coppia ordinata di numeri reali (a,b) $$ z=(a,b) $$ che soddisfa le seguenti proprietà $$ (a,b) = (c,d) \: \text{se e solo se} \: a=c ∧ b=d $$ $$ (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) $$ $$ (a,b) \cdot (c,d) = (ac-bd,ad+bc) $$

Dove a e b sono numeri reali

• Il numero a è detto parte reale del numero complesso $$ Re(z) = a $$
• Il numero b è detto parte immaginaria del numero complesso. $$ Im(z)=b $$

Perché studiare i numeri complessi? Molti problemi non ammettono una soluzione con l'insieme dei numeri reali R. Ad esempio, la radice quadrata di -4 è impossibile perché non esiste un numero reale che elevato al quadrato sia uguale a un numero negativo.

La radice di un numero negativo è invece risolvibile usando l'insieme dei numeri complessi C. In generale, l'insieme dei numeri complessi è molto più ampio dell'insieme dei numeri reali e mi permette di svolgere calcoli altrimenti impossibili con i numeri reali.

Ogni numero complesso è un elemento dell'insieme RxR perché è composto da una coppia ordinata (a,b) di numeri reali.

Quindi, posso considerare ogni numero complesso come un punto del piano cartesiano.

Per ogni punto del piano c'è un numero complesso e viceversa.

Nota. Non esiste un criterio generale per stabilire se un punto del piano è maggiore o minore di un altro. Posso solo dire se due punti sono uguali o diversi. Quindi, non posso dire se un numero complesso è maggiore o minore di un altro. Posso soltanto affermare che un numero complesso è uguale a un altro se i due numeri hanno la stessa parte reale e immaginaria.

La forma algebrica dei numeri complessi

Posso rappresentare un numero complesso anche in forma algebrica (o compatta) come la somma di un numero reale (a) e di un numero immaginario (i·b). $$ z = a + i \cdot b $$

 

Per spiegarlo parto dalla forma algebrica

$$ z = a+i·b $$

I termini a e b sono due numeri reali.

Essendo due numeri reali posso scriverli nella forma equivalente (a,0) e (b,0)

$$ z = (a,0) + i·(b,0) $$

Il termine i è l'unità immaginaria ed è pari a i=(0,1) mentre b è il coefficiente reale della parte immaginaria.

Sostituisco i=(0,1)

$$ z = (a,0) + (0,1)·(b,0) $$

Sapendo che il prodotto tra due numeri complessi si ottiene con la formula (x₁,y₁)(x₂,y₂)=(x₁x₂-y₁y₂, x₁y₂+x₂y₁)

$$ z = (a,0) + (0·b-1·0,0·0+1·b)$$

$$ z = (a,0) + (0-0,0+b)$$

$$ z = (a,0) + (0,b)$$

$$ z = (a+0,0+b) $$

$$ z = (a,b) $$

Il risultato finale è il numero complesso (a,b)

Cos'è un numero immaginario? Un numero immaginario è un multiplo dell'unità immagnaria i=(0,1). Quindi, è un numero complesso del tipo (0,a) con parte reale nulla. Ad esempio i·3 è il numero immaginario (0,3). In generale, i·k è un numero immaginario del tipo (0,k) dove k è il fattore moltiplicativo (o coefficiente della parte immaginaria) mente i è l'unità immaginaria. In questo modo posso percorrere il processo anche in verso contrario, partendo da un numero complesso (a,b) posso giungere alla forma algebrica a+bi. $$ (a,b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0) \cdot i = a + b \cdot i $$

L'insieme dei numeri complessi è indicato con la lettera C. E' un'estensione dell'insieme dei numeri reali.

Sono particolarmente utili in fisica per studiare i fenomeni periodici e sinusoidali.

Un esempio pratico

Ho un numero complesso z

$$ z=2+3i $$

Posso riscrivere il numero sotto forma di coordinate cartesiane con x=2 e y=3

$$ (x,y)=(2,3) $$

$$ (x,y)=(2,0) + (0,3) $$

Nei numeri complessi posso ottenere (0,3) nel seguente modo

$$ (0,3) = (0,1)·(3,0) $$

Quindi sostituisco (0,3) con (0,1)·(3,0)

$$ (x,y)=(2,0) + (0,3) $$

$$ (x,y)=(2,0) + (0,1)·(3,0) $$

Sapendo che l'unità immaginaria i è uguale a (0,1)

$$ (x,y)=(2,0) + i·(3,0) $$

Le coppie con un elemento pari a zero indicano un numero reale.

Sostituisco (2,0)=2 e (3,0)=3 e ottengo il numero complesso nella sua forma algebrica.

$$ (x,y)=2 + i·3 $$

La rappresentazione del numero complesso sul piano cartesiano ( detto piano di Gauss o piano complesso ) è la seguente:

L'unità immaginaria, la parte reale e immaginaria

L'unità immaginaria dei numeri complessi è la coppia (0,1). Nella forma compatta/algebrica si indica con il simbolo i oppure j. $$ i=(0,1) $$

Le coppie di numeri con una coordinata nulla, pari a zero, identificano un numero reale.

$$ (a,0) = a $$

$$ (0,b) = b $$

Tra queste coppie è particolarmente utile la coppia (0,1) perché se moltiplicata per se stessa ha come risultato l'opposto -1

$$ (0,1)·(0,1) = (0·0-1·1,0·1+1·0) = (-1,0 ) = -1 $$

In questo modo è possibile risolvere le equazioni del tipo x²=-1.

Nota. L'unità immaginaria ha la particolarità $$ i^2 = (0,1)·(0,1) =-1 $$ Per questa ragione il prodotto di due numeri complessi è $$ z_1 · z_2 = (a+bi)(c+di)=ac+adi+bic+bd^2 =ac+adi+bic-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i $$

Questa coppia è detta unità immaginaria (i) del numero complesso.

$$ (a,b) = (a,0)+(0,b) $$

Dove (0,b) può essere ottenuto con il prodotto complesso (0,1)·(b,0)

$$ (a,b) = (a,0)+(0,1)·(b,0) $$

Essendo (a,0) e (b,0) due numeri reali, posso riscrivere la forma compatta in questo modo

$$ z=a+i·b $$

Dove a è la parte reale del numero complesso mentre b è la parte immaginaria e i è l'unità immaginaria

A cosa servono i numeri complessi

I numeri complessi sono stati ideati per trovare delle soluzioni altrimenti impossibili nei numeri razionali.

Esempio 1

Questa equazione non ha soluzioni reali perché la radice quadrata non è definita nei numeri negativi.

$$ x^2 = -1 $$

Con i numeri complessi è invece possibile.

$$ x^2 = (-1,0) $$

Sapendo che (-1,0) nei numeri complessi si ottiene con il prodotto (0,1)·(0,1)

$$ (-1,0)=(0,1) \cdot (0,1) $$

Posso sostituire (-1,0) con (0,1)·(0,1)

$$ x^2 = (0,1)·(0,1) $$

Poiché la coppia (0,1) è l'unità immaginaria i.

$$ x^2 = i·i $$

$$ x^2 = i^2 $$

Mettendo tutto sotto radice ottengo il valore dell'incognita x

$$ \sqrt{x^2} = \sqrt{i^2} $$

$$ x = i $$

Posso riscrivere il numero complesso i nella forma algebrica

$$ x = 0 + i $$

Ho così trovato la soluzione del problema.

Esempio 2

Un'equazione di secondo grado nell'incognita z

$$ az^2 +bx + c = 0 $$

ammette due soluzioni reali se b²-4ac=>0

$$ \frac{-b ± \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \begin{cases} z_1 \\ z_2 \end{cases} $$

I coefficienti a,b,c dell'equazione sono in relazione con le soluzioni z₁ e z₂

$$ z_1+z_2 = - \frac{b}{a} $$

$$ z_1 \cdot z_2 = \frac{c}{a} $$

Questo però non vale per tutte le equazioni di secondo grado.

Ad esempio, l'equazione seguente non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali.

$$ z^2 + 1 = 0 $$

Nemmeno le relazioni tra i coefficienti possono essere soddisfatte

$$ z_1 + z_2 = 0 $$ $$ z_1 \cdot z_2 = 1 $$

Per fare in modo che tutte le equazioni di secondo grado abbiano una soluzione, devo passare dai numeri reali R ai numeri complessi C introducendo l'unità immaginaria z

$$ z = ± \sqrt{-1} $$

In questo modo ottengo algebricamente

$$ z^2 = -1 $$

E questo soddisfa sia l'equazione z²+1=0 che le relazioni tra i coefficienti.

La somma e il prodotto dei numeri complessi

Nell'insieme dei numeri complessi sono definite due operazioni:

• Somma
  La somma si svolge sommando gli elementi delle coppie con la stessa posizione $$ (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) $$

  Esempio. $$ (1,2) + (2,4) = (1+2, 2+4) = (3,6) $$

• Prodotto
  La formula del prodotto è meno intuitiva. Diventa però chiara una volta approfondito il significato dell'unità immaginaria. $$ (a,b) · (c,d) = (ac-bd, ad +bc ) $$

  Esempio. $$ (1,2) · (2,4) = (1·2-2·4, 1·4 +2·2 ) = (-6,8) $$

In entrambi i casi, il risultato finale è un altro numero complesso.

Nota. La sottrazione si svolge come l'addizione. $$ (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d) $$ La divisione deve invece essere ricondotta alla moltiplicazione $$ \frac{a+bi}{c+di} = \frac{a+bi}{c+di} \cdot \frac{c-di}{c-di} = \frac{ac-adi+bic-bdi^2}{c^2-cdi+cdi -(di)^2} = \frac{ac-adi+bic-bd(-1)}{c^2- d^2(-1)} = \frac{(ac+bd)+ i (bc-ad)}{c^2+ d^2} $$ ossia $$ \frac{ac+bd}{c^2+ d^2} + i \cdot \frac{bc-ad}{c^2+ d^2} $$

La forma cartesiana e la forma polare

Un numero complesso può essere rappresentato in due forme

• forma cartesiana
  $$ s=σ+jω $$
• forma trigonometrica
  $$ s=p(\cos φ + j \cdot \sin φ) $$
• forma polare ( o esponenziale )
  $$ s=p e^{jφ} $$

Dove σ è la parte reale, ω la parte immaginaria, p il modulo e φ l'argomento del numero complesso s.

Nota. L'argomento φ deve essere compreso tra -π e π ( pi greco ). $$ -π < φ ≤ π $$

La rappresentazione dei numeri complessi

Posso rappresentare i numeri complessi su un piano cartesiano, detto piano di Gauss, con un asse reale e un asse immaginario.

E' detta rappresentazione dei numeri complessi in forma algebrica.

E' anche possibile rappresentare il numero nella forma trigonometrica o polare.

$$ z= p ( cos \: φ + j \cdot sin \: φ ) $$

Per passare dalla forma polare alla forma cartesiana

$$ σ = p \: \cos φ $$

$$ ω = p \sin φ $$

Valgono le seguenti relazioni $$ p = \sqrt{σ^2+ω^2} $$ $$ φ = \arctan \frac{ω}{σ} = \arcsin {ω}{\sqrt{σ^2+ω^2}} $$

Un'ulteriore rappresentazione è la forma esponenziale

$$ p \cdot e^{jφ} = p \cdot ( cos \: φ + j \cdot sin \: φ ) $$

Quest'ultima forma si basa sulla formula di Eulero

$$ e^{jφ} = cos \: φ + j \cdot sin \: φ $$

La funzione di variabile complessa

Una funzione di variabile complessa è una funzione definita nell'insieme dei numeri complessi. $$ f(z) $$ con $$ z=x+i \cdot y $$

Pertanto, una funzione di variabile complessa si può scrivere come

 

$$ w = f(s) = u(σ,ω)+i \cdot v(σ,ω) $$

dove u e v sono due variabili reali che rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria.

Esempio

La funzione reale e^iy può essere riscritta come funzione di variabile complessa, e viceversa.

 

$$ e^{iy} = \cos y + i \cdot \sin y $$

Dove i è l'unità immaginaria.

 

Lo stesso si può fare con il seno, il coseno, la radice quadrata, ecc.