Le identità
Cos'è una identità
In algebra una identità è un'uguaglianza tra due espressioni letterali soddisfatta per qualsiasi valore assegnato alle lettere delle espressioni.
Ecco un esempio di identità
$$ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $$
Qualunque valore io associ alle lettere x e y alle espressioni al primo e al secondo membro, la relazione di uguaglianza tra le due espressioni è soddisfatta.
Ad esempio, se assegno x=1 e y=2 ottengo 9 in entrambi i membri.
$$ (1+2)^2 = 1^2+2 \cdot 1 \cdot 2+2^2 $$
$$ 3^2 = 1+4+4 $$
$$ 9 = 9 $$
L'uguaglianza è soddisfatta.
Lo stesso deve valere per qualsiasi altro valore assegnabile alle lettere.
Nota. Generalmente, in un'uguaglianza l'espressione a sinistra dell'uguale è detta primo membro dell'identità. Quella a destra dell'uguale è detta secondo membro dell'identità.
Come capire se una uguaglianza è un'identità
Metodo 1 (particolare)
Per capire se un'uguaglianza è una identità assegno dei valori alle lettere e confronto il risultato al primo e al secondo membro. Se il risultato è uguale per qualsiasi valore assegnato, l'uguaglianza è un'identità.
Ad esempio, considero l'uguaglianza
$$ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $$
Assegno x=2 e y=3 alle lettere nelle due espressioni e svolgo i calcoli algebrici.
$$ (2+3)^2 = 2^2+2 \cdot 2 \cdot 3+3^2 $$
$$ 5^2 = 4+12+9 $$
$$ 25 = 25 $$
Il risultato è 25 sia al primo membro che al secondo membro.
Quindi, l'uguaglianza potrebbe essere una identità.
Ora dovrei ripetere lo stesso procedimento per tutti gli altri valori assegnabili alle lettere x e y.
Nota. In base a questo metodo dovrei assegnare tutti le combinazioni possibili di valori alle lettere e confrontare il risultato dei due membri. Questo è ovviamente impossibile perché spesso le combinazioni sono infinite. Pertanto, questo metodo è semplice, intuitivo e utile per far capire il concetto di identità ...ma poco pratico.
Metodo 2 (generale)
Un'uguaglianza è un'identità se la differenza tra il primo e il secondo membro è uguale a zero.
Ad esempio, considero l'uguaglianza
$$ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $$
Applico la proprietà invariantiva delle equazioni e sottraggo l'espressione al secondo membro in entrambi i membri.
$$ (x+y)^2 - (x^2+2xy+y^2) = (x^2+2xy+y^2) - (x^2+2xy+y^2) $$
$$ (x+y)^2 - x^2-2xy-y^2 = 0 $$
Poi svolgo i calcoli algebrici al primo membro. Calcolo il quadrato del binomio e semplifico.
$$ x^2+2xy+y^2 - x^2-2xy-y^2 = 0 $$
$$ \require{cancel} \cancel{x^2}+2xy+y^2 - \cancel{x^2}-2xy-y^2 = 0 $$
$$ \cancel{2xy}+y^2 - \cancel{2xy}-y^2 = 0 $$
$$ \cancel{y^2} - \cancel{y^2} = 0 $$
$$ 0 = 0 $$
La differenza è nulla. Quindi, l'uguaglianza è una identità.
In questo modo dimostro che l'identità è soddisfatta per qualsiasi valore assegnabile alle lettere.
La condizione di esistenza dell'identità
Nel caso delle frazioni algebriche devo considerare anche la condizione di esistenza dell'identità.
Se almeno un'espressione non è definita in alcuni valori, anche l'identità non è definita per quei valori.
Ad esempio, considero l'identità
$$ \frac{xy}{y} = x $$
L'espressione al primo membro non è definita per y=0.
Quindi, anche l'identità non è definita per y=0.
In questo caso la condizione di esistenza (C.E.) dell'identità è y≠0
$$ C.E.: \ y \ne 0 $$
La differenza tra identità ed equazioni
In algebra l'identità e l'equazione sono concetti diversi.
- L'identità è una uguaglianza tra due espressioni algebriche soddisfatta per qualsiasi valore assegnabile alle lettere.
- L'equazione è un'eguaglianza tra due espressioni algebriche soddisfatta per uno o più valori assegnabili alle lettere.
Esempio 1
Questa relazione di uguaglianza è un'equazione perché è soddisfatta solo per i valori x=5 e x=-5.
$$ x^2 = 25 $$
Non è un'identità perché non è soddisfatta per tutti i valori assegnabili alla lettera x.
Nota. Le identità sono un sottoinsieme delle equazioni perché un'identità è anche un'equazione. Un'equazione, invece, non è detto che sia anche un'identità. Ad esempio, questa equazione è anche un'identità. $$ x^2 = x \cdot x $$ Viceversa, questa equazione non è una identità. $$ 2x = x \cdot x $$
E così via.
