Equazioni con il valore assoluto

Per risolvere un'equazione in cui è presente il valore assoluto (modulo) della variabile incognita x $$ | P(x) | = Q(x) $$ devo eliminare il modulo trasformando l'equazione in una forma equivalente.

Esistono due tecniche applicabili a casi diversi

Tecnica 1

Se l'equazione è semplice il termine noto n∈R è un numero reale qualsiasi

$$ |P(x)| = n $$

La soluzione dell'equazione dipende dal segno del termine noto (n)

• Se n>0 basta applicare la proprietà |x|=|y|⇔x=±y del valore assoluto.
  
  Sapendo che |P(x)|=n allora P(x)=n oppure P(x)=-n $$ |P(x)|=\pm n $$ Queste sono le soluzioni dell'equazione.

  Esempio. Ho l'equazione $$ |x+2| = 5 $$ Il termine noto n=5 è un numero positivo.
  Quindi le soluzioni possibili sono due x+2=±5 ossia $$ x+2=5 $$ e $$ x+2=-5 $$ Esplicito la x in entrambe le equazioni e ottengo $$ x = 5-2 = 3 $$ e $$ x = -5-2= -7 $$ I valori x=3 e x=-7 sono le soluzioni dell'equazione iniziale |x+2|=5

• Se n<0 l'equazione non ha soluzioni perché il valore assoluto di qualsiasi numero non può essere negativo |P(x)|≥0. In questo caso non è soddisfatta la condizione di esistenza. Pertanto, è inutile procedere.

  Esempio. Ho l'equazione $$ |x+2| = -5 $$ Il termine noto n=-5 è un numero negativo. Qualunque x consideri il valore assoluto restituirebbe un numero nullo o positivo. Il valore più basso del valore assoluto è zero quando x=-2. Quindi, l'equazione non può avere soluzioni.

Tecnica 2

Se l'equazione è composta da una o più espressioni

$$ |P(x)| = Q(x) $$

Per risolvere questo tipo di equazioni

1. Studio il segno dell'espressione P(x) all'interno del valore assoluto.
2. Una volta capito gli intervalli in cui l'espressione P(x) è non negativa, suddivido l'equazione in due sistemi di equazioni. Un sistema di equazioni per analizzare il caso in cui P(x)≥0 $$ \begin{cases} P(x) = Q(x) \\ \\ P(x) \ge 0 \end{cases} $$ Un altro sistema di equazioni per analizzare il caso in cui P(x)<0. In questo caso, per la regola del valore assoluto devo considerare l'opposto -P(x) $$ \begin{cases} -P(x) = Q(x) \\ \\ P(x) \lt 0 \end{cases} $$
3. L'unione delle soluzioni dei due sistemi individua le soluzioni dell'equazione iniziale |P(x)|=Q(x).

Un esempio pratico

In questa equazione l'incognita x compare sotto modulo

$$ |x-4| = 2x-1 $$

Studio il segno dell'espressione dentro il valore assoluto per capire quando è positiva, nulla o negativa

$$ x-4 \ge 0 $$

In questo caso l'espressione sotto modulo P(x)=x-4 è non negativa quando x ≥ 4

$$ x \ge 4 $$

A questo punto scrivo due sistemi, uno in cui x≥4 e l'altro in cui x<4

Il primo sistema

Se x≥4 vale l'equazione P(x)=Q(x) senza modulo perché P(x) è nulla o positiva.

Se l'espressione sotto modulo è per positiva, il valore assoluto si può anche togliere e la relazione d'ordine non cambia.

$$ \begin{cases} x \ge 4 \\ \\ x-4=2x-1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x \ge 4 \\ \\ x-2x=-1+4 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x \ge 4 \\ \\ -x=3 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x \ge 4 \\ \\ x=-3 \end{cases} $$

Il primo sistema non ha soluzioni perché x=-3 non è maggiore-uguale di 4.

Il secondo sistema

Se x<4 vale l'equazione -P(x)=Q(x) senza modulo.

In questo caso utilizzo l'opposto dell'espressione -P(x) perché P(x) senza modulo è negativa.

$$ \begin{cases} x \lt 4 \\ \\ -(x-4)=2x-1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x \lt 4 \\ \\ -x+4=2x-1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x \lt 4 \\ \\ -x-2x=-1-4 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x \lt 4 \\ \\ -3x=-5 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x \lt 4 \\ \\ -3x \cdot (-1) =-5 \cdot (-1) \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x \lt 4 \\ \\ 3x=5 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x \lt 4 \\ \\ x=\frac{5}{3} \end{cases} $$

Questo sistema ha una soluzione perché x=5/3 è minore di 4.

In conclusione, il primo sistema non ha soluzioni mentre il secondo ha una soluzione.

Pertanto, l'equazione iniziale |x-4| = 2x-1 ha una sola soluzione pari a x=5/3

$$ x = \frac{5}{3} $$

Verifica. Sostituisco x=5/3 nell'equazione iniziale. $$ |x-4| = 2x-1 $$ $$ |\frac{5}{3}-4| = 2(\frac{5}{3})-1 $$ $$ |\frac{5-12}{3}| = \frac{10-3}{3} $$ $$ |\frac{-7}{3}| = \frac{7}{3} $$ $$ \frac{7}{3} = \frac{7}{3} $$ L'identità dell'equazione è soddisfatta per x=5/3.

E così via.