Teorema della somma di due angoli interni del triangolo
La somma di due angoli interni di un triangolo è sempre minore di 180° gradi.
Ad esempio, in un generico triangolo ABC
Valgono le seguenti disequazioni
$$ \alpha + \beta < 180° \\ \alpha + \gamma < 180° \\ \beta + \gamma < 180° $$
Da questo teorema deriva un importante corrolario.
Un triangolo ha sempre almeno due angoli acuti (<90°)
In altre parole, un triangolo non può avere più di un angolo retto e di un angolo ottuso.
In caso contrario, la somma di due angoli interni del trangolo sarebbe maggiore o uguale a 180° (angolo piatto).
Dimostrazione
Considero un triangolo qualsiasi ABC
Il triangolo ha tre angoli interni ( α, β, γ ) e ogni angolo interno ha due angoli esterni adiacenti:
Ad esempio, l'angolo interno β ha due angoli esterni adiacenti βe e βe'
Prendo in considerazione l'angolo esterno βe
Per il teorema dell'angolo esterno dei triangoli, un angolo esterno è maggiore di ogni altro angolo interno non adiacente.
Pertanto, nel caso dell'angolo esterno β ho le seguenti disequazioni.
$$ β_e > α $$
$$ β_e > γ $$
In altre parole, l'angolo esterno βe è maggiore di ciascuno degli angoli interni che non sono adiacenti (α e γ).
L'angolo interno β non lo considero perché è adiacente a βe
Considero la prima disequazione
$$ β_e > α $$
Per la proprietà invariantiva delle disequazioni, sommo in entrambi i membri l'angolo β.
$$ β_e + β > α + β $$
Sapendo che la somma di un angolo interno e dell'angolo esterno adiacente è uguale a un angolo piatto (180°), deduco che βe+β=180°.
$$ 180° > α + β $$
Pertanto, la somma dei due angoli interni α e β è sempre inferiore a 180°.
$$ a + β < 180° $$
Ripetendo la dimostrazione con gli altri angoli esterni del triangolo ottengo sempre lo stesso risultato.
E così via.
