La retta di Eulero
La retta di Eulero è una retta che passa per l'ortocentro, il baricentro e il circocentro del triangolo.
Si tratta di una costruzione geometrica che lega insieme diversi punti notevoli di un triangolo.
In ogni triangolo, ci sono tre punti notevoli: il baricentro (G), il circocentro (O) e l'ortocentro (H).
Qualunque sia la forma o la dimensione del triangolo, fatta eccezione per il triangolo equilatero, questi tre punti sono sempre allineati.
La retta di Eulero prende il nome dal matematico svizzero Leonhard Euler, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, noto per i suoi contributi in numerosi campi della matematica.
Un esempio pratico
Considero un triangolo ABC qualsiasi
Per prima cosa individuo il baricentro.
Il baricentro (G) è il punto di intersezione delle mediane del triangolo.
Una mediana è un segmento che collega un vertice (A, B, C) del triangolo al punto medio (MAB, MBC, MAC) del lato opposto.
Nota. Il baricentro divide ogni mediana in un rapporto di 2:1, con la parte più lunga che va dal vertice (A, B, C) al baricentro (G).
Poi individuo il circocentro.
Il circocentro (O) è il punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari ai lati del triangolo che passano per i rispettivi punti medi.
Nota. Il circocentro (O) è anche il centro del cerchio circoscritto al triangolo, ovvero il cerchio che passa per tutti e tre i vertici del triangolo.
Infine, trovo l'ortocentro.
L'ortocentro (H) è il punto di intersezione delle altezze del triangolo.
Dove un'altezza del triangolo è un segmento perpendicolare tracciato da un vertice al lato opposto o al suo prolungamento.
Questi tre punti G, O, H appena individuati sono tra loro allineati.
La retta passante tra i tre punti è detta retta di Eulero.
Osservazioni
Alcune osservazioni sulla retta di Eulero
- Nella retta di Eulero il baricentro (G) si trova tra il circocentro (O) e l'ortocentro (H) nella retta di Eulero.
- La distanza tra il baricentro e l'ortocentro (GH) è due volte quella tra il baricentro e il circocentro (GO). $$ GH = 2GO $$ Pertanto, la distanza tra il circocentro e l'ortocentro (OH) è tre volte quella tra il baricentro e il circocentro (GO) $$ OH = 3GO $$
- Il caso del triangolo equilatero
La retta di Eulero non esiste nel caso dei triangoli equilateri, perché l'ortocentro, il baricentro e il circocentro coincidono (H=I=G=O). Pertanto, nel caso dei triangoli equilateri i punti non sono allineati ed esiste un fascio di infinite rette passanti per lo stesso punto anziché una sola retta.
- Altri punti notevoli del triangolo
Sulla retta di Eulero si trovano anche altri punti notevoli del triangolo, tra i quali il punto di Longchamps , il punto di Schiffler , il punto di Exeter e il punto di Gossard. - L'incentro
In generale l'incentro non giace sulla retta di Eulero, fatta eccezione per i triangoli isosceli dove anche l'incentro è allineato con l'ortocentro, il baricentro e il circocentro.
- Il caso dei triangoli isosceli
Nel caso dei triangoli isosceli la retta di Eulero coincide con l'asse di simmetria del triangolo.
E così via.
