Triangolo rettangolo con angoli acuti di 30° e 60°
Il triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 30° e 60° è uguale alla metà di un triangolo equilatero.
L'altezza (h) e il lato (l) di questo triangolo rettangolo si possono calcolare usando queste formule: $$ l = \frac{2h}{\sqrt{3}} = \frac{2h }{3} \sqrt{3} $$ $$ h = \frac{l}{2} \sqrt{3} $$ La base (l/2) del triangolo è esattamente la metà del lato obliquo (l) opposto all'angolo retto.
La spiegazione
Se ribalto il triangolo rettangolo attorno al suo cateto maggiore, ottengo un triangolo equilatero, ovvero un triangolo con tre angoli di 60° e tre lati uguali.
Una delle caratteristiche principali del triangolo rettangolo 30°, 60°, 90° è che, conoscendo la lunghezza di un solo lato, posso determinare le lunghezze degli altri due lati.
$$ a = \frac{2b}{\sqrt{3}} = \frac{2b \sqrt{3}}{3} $$
$$ b = \frac{a}{2} \sqrt{3} $$
$$ c = \frac{a}{2} $$
Questo è possibile grazie alle relazioni matematiche tra i lati e all'applicazione del teorema di Pitagora.
Nota. Queste formule si possono applicare soltanto ai triangoli con angoli interni pari a 30°, 60° e 90°.
La dimostrazione
Per dimostrare le formule del triangolo 30°, 60°, 90° utilizzo il teorema di Pitagora.
Secondo il teorema di Pitagora, in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa (a2) è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (b2+c2).
$$ a^2 = b^2 + c^2 $$
Sapendo che il triangolo rettangolo con angoli acuti 30° e 60° è la metà di un triangolo equilatero, deduco che il cateto c=a/2 sia uguale alla metà dell'ipotenusa, perché nel triangolo equilatero tutti i lati sono uguali (a=2c).
Quindi, posso esprimere il lato c=a/2 come la metà dell'ipotenusa (a).
$$ a^2 = b^2 + ( \frac{a}{2}) ^2 $$
Questa relazione tra i lati del triangolo rettangolo mi permette di risolvere il triangolo in vari modi, a seconda del lato noto.
Ad esempio, se conosco l'ipotenusa (a) posso calcolare il valore degli altri cateti
$$ b^2 = a^2 - ( \frac{a}{2}) ^2 $$
$$ b^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} $$
$$ b^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4} $$
$$ b^2 = \frac{3a^2}{4} $$
$$ \sqrt{b^2} = \sqrt{ \frac{3a^2}{4} } $$
$$ b = \frac{a}{2} \sqrt{3} $$
L'altro cateto (c) si calcola semplicemente dividendo l'ipotenusa per due
$$ c = \frac{a}{2} $$
Se, invece, conosco il cateto maggiore (b) posso calcolare il valore dell'ipotenusa (a) e del cateto minore (c=a/2).
$$ b^2 = a^2 - ( \frac{a}{2}) ^2 $$
$$ b^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} $$
$$ b^2 = \frac{4a^2 - a^2}{4} $$
$$ b^2 = \frac{3a^2}{4} $$
$$ \frac{4b^2}{3} = a^2 $$
$$ \sqrt{ \frac{4b^2}{3} } = \sqrt{ a^2 } $$
$$ \frac{2b}{\sqrt{3}} = a $$
Per la proprietà invariantiva delle frazioni moltiplico per √3 il numeratore e il denominatore della frazione a sinistra.
$$ \frac{2b}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = a $$
$$ \frac{2b \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \ = a $$
$$ \frac{2b \sqrt{3}}{3} = a $$
Una volta nota l'ipotenusa (a), ottengo il cateto minore sapendo che c=a/2
$$ c = \frac{a}{2} $$
E così via.
