Triangolo rettangolo con angoli acuti di 45° e 45°
Il triangolo rettangolo con gli angoli acuti di 45° e 45° ha due lati (i cateti) di lunghezza uguale perché è anche isoscele.
In questo triangolo il lato obliquo opposto all'angolo retto si ottiene tramite la seguente formula $$ d = l \cdot \sqrt{2} $$ I lati adiacenti all'angolo retto sono congruenti.
La spiegazione
Questo caso particolare dei triangoli rettangoli è anche conosciuto come "triangolo isoscele rettangolo".
I due angoli acuti del triangolo rettangolo adiacenti all'ipotenusa (a) sono congruenti, entrambi misurano 45°. Pertanto, si tratta di un triangolo isoscele.
Questo significa che i due cateti sono congruenti b≅c, ossia sono di lunghezza uguale, e il triangolo è simmetrico rispetto all'ipotenusa.
In effetti basta raddoppiare il triangolo per accorgersi immediatamente che si ottiene un quadrato.
Grazie a questa particolare proprietà di questo triangolo posso calcolare la lunghezza di tutti i lati conoscendo la lunghezza di un solo lato.
$$ c = \frac{a}{ \sqrt{2} } = \frac{a}{2} \sqrt{2} $$
$$ a = c \cdot \sqrt{2} $$
Va sottolineato che queste formule si applicano solo ai triangoli con due angoli acuti di 45°.
Un'altra proprietà interessante del triangolo rettangolo isoscele è che, se traccio un'altezza dall'ipotenusa al vertice opposto (l'angolo retto), questa divide l'ipotenusa in due segmenti uguali e crea due triangoli rettangoli più piccoli, entrambi con angoli di 45° e 45°.
La dimostrazione
Considero un triangolo rettangolo con due angoli acuti di 45°.
\cdot \sqrt{2}
Gli angoli adiacenti al lato "a" sono congruenti, quindi il triangolo rettangolo è isoscele, ossia ha due lati obliqui congruenti.
Sapendo che il lato "a" è la base del triangolo isoscele, gli altri due lati devono essere congruenti.
$$ b \cong c $$
Poiché b=c posso assegnare a entrambi i cateti una sola lettera, ad esempio "c".
Secondo il teorema di Pitagora, in un triangolo rettangolo il quadrato sull'ipotenusa (a2) è uguale alla somma dei quadrati sui cateti (c2+c2).
$$ a^2 = c^2 + c^2 $$
$$ a^2 = 2c^2 $$
Questa relazione mi permette di calcolare la lunghezza dell'ipotenusa (a) conoscendo quella di un cateto (c)
$$ a^2 = 2c^2 $$
$$ \sqrt{a^2} = \sqrt{ 2c^2 } $$
$$ a= c \cdot \sqrt{ 2} $$
Se invece è nota la lunghezza dell'ipotenusa (a), posso calcolare la lunghezza dei cateti (c)
$$ a^2 = 2c^2 $$
$$ \frac{a^2}{2} = c^2 $$
$$ \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \sqrt{c^2} $$
$$ a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = c $$
$$ c = \frac{a}{\sqrt{2}} $$
Per la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplico il numeratore e il denominatore per la radice di 2.
$$ c = \frac{a \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} $$
$$ c = \frac{a}{2} \sqrt{2}$$
E così via
