Il criterio di equivalenza dei triangoli

Due triangoli sono equivalenti quando hanno la base e la relativa altezza congruenti.

In altre parole, quando due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza, allora hanno la stessa area (superficie equivalente).

Pertanto, sono poligoni equivalenti.

Un esempio pratico

Prendo come esempio due triangoli non congruenti.

I due triangoli hanno la stessa base b=3 e la stessa altezza h=6.

L'area di un triangolo è uguale al semiprodotto della base per l'altezza.

$$ Area = \frac{b \cdot h}{2} $$

Poiché b=3 e h=6 per entrambi i triangoli, l'area dei due triangoli è la stessa

$$ Area = \frac{3 \cdot 6 }{2} = \frac{18}{2} = 9 $$

Quindi, avendo la stessa area (Area=9) i due triangoli sono poligoni equivalenti.

La dimostrazione

Considero due triangoli ABC e DEF non congruenti.

Per ipotesi iniziale, i due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza.

$$ \overline{AB} \cong \overline{DE} $$

$$ \overline{CH} \cong \overline{DK} $$

Devo dimostrare che sono poligoni equivalenti, ovvero che hanno la stessa area.

Sapendo che la formula per calcolare l'area di un triangolo è il prodotto tra la base e l'altezza diviso due.

$$ Area (triangolo) = \frac{base \cdot altezza}{2} $$

Poiché i due triangoli ABC e DEF hanno la stessa base AB≅DE e la stessa altezza CH≅FK, l'area dei due triangoli è uguale

$$ Area (ABC) = Area(DEF) = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CH}}{2} = \frac{\overline{DE} \cdot \overline{FK}}{2} $$

Quindi, i due triangoli sono equivalenti.

Questo è sufficiente a dimostrare il teorema iniziale.

Dimostrazione alternativa

Per dimostrare che i due triangoli ABC e DEF sono equivalenti, posso seguire anche un'altra strada.

Traccio in entrambi i triangoli le rette parallele alla basi AB e DE che passano per il rispettivo vertice opposto C e F.

Ora traccio le parallele dei lati BC e DF che passano per il corrispondente vertice opposto C e F.

In questo modo ottengo due parallelogrammi ABCG e DEFJ.

I parallelogrammi ABCG e DEFJ hanno rispettivamente il doppio dell'area dei triangoli ABC e DEF.

$$ Area(ABCG) = 2 \cdot Area(ABC) $$

$$ Area(DEFJ) = 2 \cdot Area(DEF) $$

Secondo il teorema di equivalenza dei parallelogrammi, i due parallelogrammi ABCG e DEFJ sono equivalenti perché hanno le basi AB≅DE e le altezze CH≅FK congruenti.

Quindi, hanno la superficie equivalente

$$ ABCG \doteq DEFJ $$

ovvero la stessa area

$$ Area(ABCG) = Area(DEFJ) $$

Di conseguenza, l'area del parallelogramma ABCG è il doppio del triangolo ABC ma anche del triangolo DEF.

$$ Area(ABCG) = 2 \cdot Area(ABC) = 2 \cdot Area(DEF) = Area(DEFJ) $$

Divido tutto per due.

$$ \frac{Area(ABCG)}{2} = \frac{2 \cdot Area(ABC)}{2} = \frac{2 \cdot Area(DEF)}{2} = \frac{Area(DEFJ)}{2} $$

$$ \frac{Area(ABCG)}{2} = Area(ABC) = Area(DEF) = \frac{Area(DEFJ)}{2} $$

Da questo deduco che le aree dei triangoli ABC e DEF sono uguali.

$$ Area(ABC) = Area(DEF) $$

Questo vuol dire che i due triangoli ABC e DEF hanno una superficie equivalente.

Quindi, i due triangoli sono equivalenti.

$$ Area(ABC) \doteq Area(DEF) $$

Questo conclude la dimostrazione.

E così via.