Teorema della somma degli angoli di un triangolo
La somma degli angoli di un triangolo è congruente a un angolo piatto (180°).
Pertanto, la somma degli angolo di un triangolo di qualsiasi tipo ha un'ampiezza di 180°.
$$ \alpha + \beta + \gamma = 180° $$
La dimostrazione
Considero un generico triangolo ABC.
L'angolo esterno βe è un angolo supplementare dell'angolo β, perché la loro somma è uguale a un angolo piatto (180°).
$$ \beta + \beta_e = 180° $$
Per il teorema dell'angolo esterno di un triangolo, un angolo esterno ha un'ampiezza pari alla somma degli angoli interni non adiacenti.
$$ \beta_e \cong \alpha + \gamma $$
Pertanto, mettendo insieme le due informazioni βe+β=180° e βe≅α+γ
$$ \beta + \beta_e = 180° $$
$$ \beta + ( \alpha + \gamma ) = 180° $$
Deduco che la somma degli angoli interni di un triangolo è congruente a un angolo piatto (180°).
$$ \alpha + \beta + \gamma = 180° $$
Ho così dimostrato il teorema della somma degli angolo di un triangolo.
Dimostrazione alternativa
Considero un triangolo ABC
Traccio una retta parallela al lato AB che passa per il vertice C del triangolo.
Gli angoli δ+γ+θ=180° sono congruenti con un angolo piatto (180°).
Ora, secondo il teorema delle rette parallele tagliate da una trasversale, gli angoli alterni interni sono congruenti.
- Gli angoli alterni interni α≅δ sono congruenti rispetto alla trasversale AC.
- Gli angoli alterni interni β≅θ sono congruenti rispetto alla trasversale BC.
Pertanto, se δ+γ+θ=180° e α≅δ , β≅θ deduco che anche la somma α+β+γ=180° è un angolo piatto.
In conclusione, la somma degli angoli interni del triangolo è uguale a 180°
E così via.
