Excentro di un triangolo
L'excentro è il punto di intersezione tra la bisettrice di un angolo interno e le bisettrici degli altri due angoli esterni non adiacenti del triangolo.
L'excentro è il centro di una circonferenza tangente esternamente a un lato opposto dell'angolo interno e ai prolungamenti degli altri due lati del triangolo.
Un triangolo ha tre excentri, uno per ogni lato.
Quindi, ogni triangolo ha tre circonferenze exinscritte tangenti esternamente a un lato e ai prolungamenti degli altri due lati.
Il raggio di ogni circonferenza exinscritta è detto exraggio.
Nota. Nel caso dei triangoli equilateri le circonferenze exinscritte hanno tutte il medesimo raggio.
Come si trova l'excentro
L'excentro di un triangolo posso trovarlo tramite le bisettrici degli angoli del triangolo.
Considero un triangolo ABC.
Traccio la bisettrice interna dell'angolo γ.
Poi traccio le bisettrici degli angoli esterni α' e β' non adiacenti all'angolo γ.
La bisettrice di un angolo esterno è anche detta bisettrice esterna, in entrambi i casi è il segmento che divide l'angolo supplementare (180°-α e 180°−β) in due parti uguali. Quindi, si può chiamare bisettrice dell'angolo esterno α'=180°-α oppure bisettrice esterna dell'angolo α. Il significato è sempre lo stesso.
L'intersezione della bisettrice interna dell'angolo γ con una delle bisettrici esterne degli angoli α e/o β individua l'excentro Ec relativo all'angolo γ.
Una volta trovato l'excentro, posso tracciare una circonferenza con centro in Ec che tocca esternamente il lato opposto AB e il prolungamento degli altri due lati AC e BC.
Il raggio di questa circonferenza è chiamato raggio exraggio relativo all'angolo γ.
Nota. Ricapitolando, l'excentro di un triangolo relativo a un determinato angolo può essere trovato come il punto di intersezione tra la bisettrice interna di quell'angolo e le bisettrici esterne degli altri due angoli.
Analogamente, gli excentri relativi agli angoli α e B possono essere trovati come i punti di intersezione delle rispettive bisettrici interne con le bisettrici esterne degli altri due angoli.
Ad esempio, questo è l'excentro relativo all'angolo α.
Infine, quest'ultimo è l'excentro relativo all'angolo β.
E così via.
