Teorema dei punti medi di un triangolo
In un triangolo il segmento che congiunge i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato del triangolo e congruente alla sua metà.
Detto in modo diverso, se in un triangolo traccio una linea che collega i punti medi di due lati, questa linea sarà parallela al terzo lato e avrà metà della sua lunghezza.
Un esempio
Considero il triangolo ABC che ha le seguenti misure dei lati AB=5, BC=3, AC=4.
Ogni lato ha il suo punto medio che lo divide a metà; M1 nel lato AB, M2 nel lato BC e M3 nel lato AC.
Traccio il segmento tra il punto medio M2 del lato BC e il punto medio M3 del lato AC.
Il segmento M2M3 è parallelo al lato restante AB del triangolo.
Inoltre, il segmento M2M3 ha una lunghezza pari alla metà del lato AB ossia 2,5.
$$ \overline{M_2M_3} = \frac{ \overline{AB} }{2} = \frac{5}{2} = 2,5 $$
Allo stesso modo il segmento tra i punti medi M1 e M3 è parallelo al lato restanto BC del triangolo e lungo pari alla metà di BC ossia 1,5
Infine, il segmento tra i punti medi M1 del lato AB e M2 del lato BC è parallelo al lato AC e lungo pari alla metà di AC ossia 2.
Corollario
La retta passante per il punto medio M di lato del triangolo e parallela a un altro lato del triangolo, passa anche per il punto medio del restante lato del triangolo.
Ad esempio, traccio la retta r parallela al lato AB che passa per il punto medio M2 del lato BC.
Questa retta passa anche per il punto medio M3 del lato AC.
Ovviamente, la relazione è biunivoca. Se traccio una retta r parallela ad AB che passa per il punto medio M3, questa passerà sicuramente anche per il punto medio M2 del lato BC.
Se traccio una retta parallela al lato BC che passa per il punto medio M3 del lato AC, questa passa anche per il punto medio M1 del lato AB e viceversa.
Infine, se traccio una retta parallela al lato AC che passa per il punto medio M1 del lato AB, questa passa anche per il punto medio M2 del lato BC e viceversa.
La dimostrazione
Considero un triangolo ABC e il punto M del lato AC
Il punto M è il punto medio del lato AC, quindi divide il lato AC in due segmenti congruenti AM≅CM
La dimostrazione è suddivisa in tre parti:
A] Se una retta è parallela a un lato e passa per un punto medio di un altro lato del triangolo, allora passa anche per il punto medio dell'ultimo lato
Traccio due rette r e s parallele al lato AB che passano rispettivamente per il punto M e per il vertice C.
La retta r interseca il lato BC nel punto D.
A questo punto posso considerare il lato AC e le rette r e s come un fascio di rette improprio (ossia di rette parallele) e i lati AC e BC come due rette trasversali.
Per il teorema del fascio di rette parallele, i segmenti corrispondenti delle rette trasversali sono direttamente proporzionali.
Quindi, se AM≅CM allora BD≅CD
I segmenti BD e CD sono congruenti, da questo deduco che il punto D è il punto medio del lato BC.
Questo dimostra che una retta parallela a un lato del triangolo e passante per il punto medio di un altro lato del triangolo, passa anche per il punto medio del lato restante del triangolo.
In conclusione, se un segmento è parallelo a un lato del triangolo e inizia dal punto medio di un altro lato, allora termina nel punto medio del terzo lato del triangolo.
B] Se una retta passa per due punti medi di due lati, allora è parallela al terzo lato del triangolo
Ora devo dimostrare l'inverso ossia se una retta passa per due punti medi di due lati, allora è parallela al terzo lato del triangolo.
Considero il triangolo ABC e una retta r passante per i punti medi M2 del lato BC e M3 del lato AC.
Devo dimostrare che la retta r è anche parallela al lato restante AB
Per dimostrarlo seguo un ragionamento per assurdo.
Ipotizzo che la retta r passa per i punti medi e dei lati BC e AC ma non è parallela al lato AB.
Se così fosse, allora per il teorema del fascio di rette parallele deve esistere un altra retta s parallela ad AB tale che
$$ \overline{AM_2} : \overline{CM_2} = \overline{BM_2 } : \overline{CM_2} $$
Poiché AM2≡CM2, questo vorrebbe dire la retta s interseca il lato BC in un altro punto medio M'2 diverso da M2.
Quindi, il lato BC avrebbe due punti medi, uno per l'ipotesi iniziale M2 e l'altro per costruzione M'2.
Poiché questo non è possibile, deduco che la tesi è falsa.
Pertanto, è vero il suo contrario, ossia se una retta passa per i punto medi di due lati del triangolo, allora è parallela al terzo lato del triangolo.
C] Il segmento tra due punti medi ha una lunghezza pari alla metà del lato parallelo del triangolo.
In quest'ultima parte della dimostrazione devo dimostrare che il segmento tra due punti medi è lungo la metà del lato restante.
Ad esempio, ho dimostrato che il segmento tra due punti medi M2 e M3 dei lati è parallelo al lato restante AB del triangolo e viceversa.
Traccio una retta s parallela al lato AC passante per il punto medio M2.
Essendo una retta passante per M2 e parallela al lato AC, allora per il teorema appena dimostrato questa retta deve passare anche per il punto medio del lato restante, ossa nel punto medio M1 del lato AB.
Ora, la figura AM1M2M3 è un parallelogramma, quindi ha i lati opposti congruenti e paralleli.
$$ AM_1 \cong M_2 M_3 $$
$$ AM_3 \cong M_1 M_2 $$
Da questo deduco che il segmento M2M3 è congruente al segmento AM1 ossia alla metà del lato AB
$$ AM_3 \cong \frac{ \overline{AB} }{2} $$
Questo dimostra che la distanza tra i punti medi di due lati del triangolo è uguale alla metà della lunghezza del lato restante.
E così via.
