Relazione tra lati e angoli opposti di un triangolo

In un triangolo c'è una stretta relazione tra i lati e gli angoli opposti.

• Se in un triangolo due lati sono congruenti anche gli angoli opposti sono congruenti. Ad esempio, un triangolo isoscele ha due lati congruenti e gli angoli opposti agli stessi lati congruenti tra loro.
  
• Se in un triangolo due lati non sono congruenti, allora anche gli angoli opposti non sono congruenti e al lato maggiore sta opposto l'angolo maggiore.
  

La dimostrazione

Considero per ipotesi che il triangolo abbia un lato maggiore di un altro.

$$BC>AC$$

Devo dimostrare che l'angolo $\alpha$ opposto a $BC$ ha un'ampiezza maggiore dell'angolo $\beta$ opposto ad $AC$.

Poiché $BC>AC$, deve esistere sul lato BC un punto P tale che $AB \cong CP$.

Ora per costruzione il triangolo ACP è un triangolo isoscele perché ha due lati congruenti $AB \cong CP$, quindi ha gli angoli $\theta$ alla base congruenti.

Poiché il segmento $AP$ taglia l'angolo $\alpha$, posso dedurre che ha un'ampiezza maggiore dell'angolo $\theta$.

$$\alpha > \theta$$

Guardando il triangolo $APC$ noto che l'angolo $\theta$ è anche un angolo esterno.

Per il teorema degli angoli esterni, in un triangolo un angolo esterno è sempre maggiore degli agli altri due angoli interni non adiacenti.

Quindi, l'angolo $\theta$ ha un'ampiezza maggiore di $\beta$.

$$\theta > \beta$$

Ricapitolando, ho dimostrato che sussiste questa relazione tra gli angoli

$$\alpha > \theta > \beta$$

Dove $\alpha$ è l'angolo opposto al lato $BC$ che per ipotesi è maggiore di $AC$, mentre $\beta$ è l'angolo opposto di $AC$.

Ho dimostrato che l'angolo opposto al lato maggiore ( $BC>AC$ ) ha un'ampiezza maggiore ( $\alpha > \beta$ ).

Il teorema inverso

In un triangolo, se due angoli non sono congruenti, allora il lato opposto all'angolo maggiore è più lungo del lato opposto all'angolo minore.

Come conseguenza di questo principio:

• In un triangolo rettangolo, l'ipotenusa è sempre il lato più lungo, poiché è opposta all'angolo retto (90°), che è il più grande del triangolo.
  
• In un triangolo ottusangolo, il lato opposto all'angolo ottuso (maggiore di 90°) è sempre più lungo di ciascuno degli altri due lati.
  

E così via.