Il teorema dell'angolo esterno di un triangolo

In un triangolo ogni angolo esterno (β_e) ha un'ampiezza maggiore rispetto agli angoli interni non adiacenti (α e γ)

perché ogni angolo esterno di un triangolo è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti $$ \beta_e \cong \alpha + \gamma $$

E' un teorema generale che vale per qualsiasi triangolo.

Ad esempio, nel triangolo ABC l'angolo esterno del vertice B, ossia β_e, è maggiore sia dell'angolo interno α che dell'angolo interno γ.

Quindi, nel triangolo ABC l'angolo esterno β_e ha un'ampiezza maggiore rispetto a ogni altro angolo interno diverso dall'angolo β.

Dimostrazione

A] L'angolo esterno è maggiore degli angoli interni non adiacenti

Considero un generico triangolo ABC

Prendo in considerazione l'angolo esterno del vertice B che da adesso in poi chiamo β_e

Devo dimostrare che l'angolo esterno β_e è maggiore degli angoli interni non adiacenti α e γ.

Prima parte

Individuo il punto medio M nel lato BC adiacente all'angolo β e traccio la mediana AM.

In questo modo ottengo due segmenti congruenti BM e CM

$$ BM \cong CM $$

Prolungo il segmento AM aggiungendo un altro segmento ME congruente, AM=ME. In pratica lo raddoppio

Ricapitolando, i seguenti lati sono congruenti

$$ BM \cong CM $$

$$ AM \cong ME $$

Unisco i punti B ed E aggiungendo il segmento BE alla costruzione.

Nel punto M si intersecano due segmenti formando due angoli opposti al vertice congruenti θ₁≅θ₂

$$ \ θ_1 \cong θ_2 $$

Pertanto, in base al primo teorema della congruenza i due triangoli AMC e BMC sono congruenti, perché hanno due lati congruenti BM≅CM e AM≅ME e l'angolo tra di essi congruente θ₁≅θ₂.

$$ AMC \cong BMC $$

Quindi, i due triangoli AMC e BMC hanno i lati e gli angoli congruenti nello stesso ordine.

In particolar modo, per concludere la dimostrazione mi interessa sapere che siano congruenti gli angoli γ e δ

$$ \gamma \cong \delta $$

L'angolo δ è minore rispetto all'angolo esterno βe, perché il segmento BE taglia l'angolo βe

$$ \delta < \beta_e $$

Sapendo che gli angoli γ e δ sono congruenti (γ≅δ) , deduco che anche l'angolo γ è minore rispetto all'angolo esterno βe

$$ \gamma < \beta_e $$

Pertanto, l'angolo esterno β_e è maggiore rispetto all'angolo interno γ

Seconda parte

A questo punto devo ripetere la stessa operazione per dimostrare che anche l'angolo esterno β_e è maggiore anche dell'altro angolo interno non adiacente, ossia dell'angolo α.

Individuo il punto medio M nel segmento AB adiacente all'angolo β e traccio la mediana CM

Di conseguenza i due segmenti AM e BM sono congruenti

$$ \overline{AM} \cong \overline{BM} $$

Prolungo il segmento CM aggiungendo un altro segmento MF della stessa lunghezza

Pertanto, i due segmenti CM e MF sono congruenti

$$ \overline{CM} \cong \overline{MF} $$

Ricapitolando, i seguenti lati sono congruenti

$$ \overline{AM} \cong \overline{BM} $$

$$ \overline{CM} \cong \overline{MF} $$

Unisco i punti B e F aggiungendo il segmento BF alla costruzione.

Nel punto M si intersecano due segmenti AB e CF formando due angoli opposti al vertice congruenti θ₁≅θ₂

$$ θ_1 \cong θ_2 $$

Di conseguenza, in base al primo teorema di congruenza, i triangoli AMC e BMF sono congruenti, perché hanno due lati congruenti CM≅FM e AM≅BM e l'angolo tra di essi congruente θ₁≅θ₂

$$ AMC \cong BMF $$

Quindi, triangoli AMC e BMF hanno gli stessi angoli e lati congruenti nello stesso ordine.

In particolar modo, mi interessa sapere che l'angolo α è congruente con l'angolo δ (viola)

$$ \alpha \cong \delta $$

Per confrontare l'angolo βe con l'angolo δ, prolungo il segmento BC

Poi sapendo che gli angoli opposti al vertice sono uguali, proietto un angolo congruente a β_e

In questo modo è subito evidente che l'angolo esterno β_e è maggiore dell'angolo δ, perché il segmento BF taglia l'angolo β_e

$$ \delta < \beta_e $$

Sapendo che l'angolo δ è congruente con l'angolo interno α ( δ≅α ), deduco che l'angolo esterno β_e è maggiore dell'angolo interno α.

In conclusione

Nel triangolo l'angolo esterno β_e ha un'ampiezza maggiore rispetto agli angoli interni non adiacenti α e γ.

Questo dimostra il teorema dell'angolo esterno di un triangolo.

B] L'angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti

A questo punto devo dimostrare che l'angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti.

Considero il triangolo ABC e l'angolo esterno β_e

Traccio delle rette passanti per i segmenti del triangolo e le chiamo a, b, c

Traccio la retta d parallela al segmento AC che passa per il vertice B del triangolo.

A questo punto posso considerare l'angolo esterno come la somma di due angoli βe=βe'+βe''

L'angolo β'_e è un angolo alterno interno delle rette parallele a||d tagliate dalla retta c.

Per il teorema delle rette parallele gli angoli alterni interni γ e β'_e sono congruenti ossia γ≅β'_e.

L'angolo β''_e è un angolo corrispondente delle rette parallele a||d tagliate dalla retta b.

Per il teorema delle rette parallele gli angoli corrispondenti α e β''_e sono congruenti ossia α≅β''_e.

Sapendo che l'angolo esterno è la somma βe=βe'+βe'' e gli angoli γ≅β'_e e α≅β''_e sono congruenti

$$ \begin{cases} \beta_e \cong \beta'_e + \beta''_e \\ \\ \gamma \cong \beta'_e \\ \\ \alpha \cong \beta''_e \end{cases} $$

Deduco che l'angolo esterno βe è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti α+β del triangolo.

$$ \beta_e \cong \beta'_e + \beta''_e $$

$$ \beta_e \cong \beta + \alpha $$

Pertanto, l'angolo esterno β_e=α+β ha un'ampiezza pari alla somma degli angoli interni non adiacenti del triangolo.

E così via.