Il teorema dell'angolo esterno di un triangolo

In un triangolo ogni angolo esterno (β_e) ha un'ampiezza maggiore rispetto agli angoli interni non adiacenti (α e γ)

perché ogni angolo esterno di un triangolo è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti $$ \beta_e \cong \alpha + \gamma $$

E' un teorema generale che vale per qualsiasi triangolo.

Ad esempio, nel triangolo ABC l'angolo esterno del vertice B, ossia β_e, è maggiore sia dell'angolo interno α che dell'angolo interno γ.

Quindi, nel triangolo ABC l'angolo esterno β_e ha un'ampiezza maggiore rispetto a ogni altro angolo interno diverso dall'angolo β.

Dimostrazione

A] L'angolo esterno è maggiore degli angoli interni non adiacenti

Considero un generico triangolo ABC

Prendo in considerazione l'angolo esterno del vertice B che da adesso in poi chiamo β_e

Devo dimostrare che l'angolo esterno β_e è maggiore degli angoli interni non adiacenti α e γ.

Prima parte

Individuo il punto medio M nel lato BC adiacente all'angolo β e traccio la mediana AM.

In questo modo ottengo due segmenti congruenti BM e CM

$$ BM \cong CM $$

Prolungo il segmento AM aggiungendo un altro segmento ME congruente, AM=ME. In pratica lo raddoppio

Ricapitolando, i seguenti lati sono congruenti

$$ BM \cong CM $$

$$ AM \cong ME $$

Unisco i punti B ed E aggiungendo il segmento BE alla costruzione.

Nel punto M si intersecano due segmenti formando due angoli opposti al vertice congruenti θ₁≅θ₂

$$ \ θ_1 \cong θ_2 $$

 

Pertanto, in base al primo teorema della congruenza i due triangoli AMC e BME sono congruenti, perché hanno due lati congruenti BM≅CM e AM≅ME e l'angolo tra di essi congruente θ₁≅θ₂.

$$ AMC \cong BME $$

Quindi, i due triangoli AMC e BME hanno i lati e gli angoli congruenti nello stesso ordine.

In particolar modo, per concludere la dimostrazione mi interessa sapere che siano congruenti gli angoli γ e δ

$$ \gamma \cong \delta $$

L'angolo δ è minore rispetto all'angolo esterno βe, perché il segmento BE taglia l'angolo βe

$$ \delta < \beta_e $$

Sapendo che gli angoli γ e δ sono congruenti (γ≅δ) , deduco che anche l'angolo γ è minore rispetto all'angolo esterno βe

$$ \gamma < \beta_e $$

Pertanto, l'angolo esterno β_e è maggiore rispetto all'angolo interno γ

 

Seconda parte

A questo punto devo ripetere la stessa operazione per dimostrare che anche l'angolo esterno β_e è maggiore anche dell'altro angolo interno non adiacente, ossia dell'angolo α.

Individuo il punto medio M nel segmento AB adiacente all'angolo β e traccio la mediana CM

Di conseguenza i due segmenti AM e BM sono congruenti

$$ \overline{AM} \cong \overline{BM} $$

Prolungo il segmento CM aggiungendo un altro segmento MF della stessa lunghezza

Pertanto, i due segmenti CM e MF sono congruenti

$$ \overline{CM} \cong \overline{MF} $$

Ricapitolando, i seguenti lati sono congruenti

$$ \overline{AM} \cong \overline{BM} $$

$$ \overline{CM} \cong \overline{MF} $$

Unisco i punti B e F aggiungendo il segmento BF alla costruzione.

Nel punto M si intersecano due segmenti AB e CF formando due angoli opposti al vertice congruenti θ₁≅θ₂

$$ θ_1 \cong θ_2 $$

Di conseguenza, in base al primo teorema di congruenza, i triangoli AMC e BMF sono congruenti, perché hanno due lati congruenti CM≅FM e AM≅BM e l'angolo tra di essi congruente θ₁≅θ₂

$$ AMC \cong BMF $$

Quindi, triangoli AMC e BMF hanno gli stessi angoli e lati congruenti nello stesso ordine.

In particolar modo, mi interessa sapere che l'angolo α è congruente con l'angolo δ (viola)

$$ \alpha \cong \delta $$

Per confrontare l'angolo βe con l'angolo δ, prolungo il segmento BC

Poi sapendo che gli angoli opposti al vertice sono uguali, proietto un angolo congruente a β_e

In questo modo è subito evidente che l'angolo esterno β_e è maggiore dell'angolo δ, perché il segmento BF taglia l'angolo β_e

$$ \delta < \beta_e $$

Sapendo che l'angolo δ è congruente con l'angolo interno α ( δ≅α ), deduco che l'angolo esterno β_e è maggiore dell'angolo interno α.

In conclusione

Nel triangolo l'angolo esterno β_e ha un'ampiezza maggiore rispetto agli angoli interni non adiacenti α e γ.

Questo dimostra il teorema dell'angolo esterno di un triangolo.

B] L'angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti

A questo punto devo dimostrare che l'angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti.

Considero il triangolo ABC e l'angolo esterno β_e

Traccio delle rette passanti per i segmenti del triangolo e le chiamo a, b, c

Traccio la retta d parallela al segmento AC che passa per il vertice B del triangolo.

A questo punto posso considerare l'angolo esterno come la somma di due angoli βe=βe'+βe''

L'angolo β'_e è un angolo alterno interno delle rette parallele a||d tagliate dalla retta c.

Per il teorema delle rette parallele gli angoli alterni interni γ e β'_e sono congruenti ossia γ≅β'_e.

L'angolo β''_e è un angolo corrispondente delle rette parallele a||d tagliate dalla retta b.

Per il teorema delle rette parallele gli angoli corrispondenti α e β''_e sono congruenti ossia α≅β''_e.

Sapendo che l'angolo esterno è la somma βe=βe'+βe'' e gli angoli γ≅β'_e e α≅β''_e sono congruenti

$$ \begin{cases} \beta_e \cong \beta'_e + \beta''_e \\ \\ \gamma \cong \beta'_e \\ \\ \alpha \cong \beta''_e \end{cases} $$

Deduco che l'angolo esterno βe è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti α+β del triangolo.

$$ \beta_e \cong \beta'_e + \beta''_e $$

$$ \beta_e \cong \beta + \alpha $$

Pertanto, l'angolo esterno β_e=α+β ha un'ampiezza pari alla somma degli angoli interni non adiacenti del triangolo.

Note

Alcune note aggiuntive e corollari sull'argomento.

• La somma di due angoli interni è sempre minore di un angolo piatto
  Questo importante corollario si deduce dal fatto che un angolo esterno del triangolo è maggiore rispetto a ogni angolo interno non adiacente. Ad esempio, $ \alpha + \gamma < 180° $

  

  Dimostrazione. Dal teorema dell'angolo esterno so già che l'angolo esterno \( \beta_e \) è maggiore dell'angolo interno non adiacente \( \gamma \) $$ \gamma < \beta_e  $$ Aggiungo l'angolo \( \beta \) a ciascun membro della disuguaglianza. $$  \gamma + \beta < \beta_e + \beta $$ Gli angoli \( \beta \) e \( \beta_e \) sono supplementari, quindi la loro somma $ \beta + \beta_e = 180° $ è un angolo piatto $$  \gamma + \beta < 180° $$ Questo dimostra che la somma di due angoli interni qualsiasi di un triangolo è inferiore a un angolo piatto. Con la stessa procedura si dimostra che anche le somme degli altri angoli interni $ \alpha + \gamma $ e $ \alpha + \beta $ sono inferiori a 180°.

• Un triangolo può avere al massimo un angolo retto o un angolo ottuso
  Un triangolo può avere al massimo un angolo retto o un angolo ottuso si basa sul fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°.

  Nota. Se un triangolo avesse due angoli retti (90° + 90° = 180°), non resterebbe spazio per un terzo angolo, il che è impossibile. Se un triangolo avesse due angoli ottusi (cioè ciascuno maggiore di 90°), la loro somma supererebbe i 180°, il che è anch'esso impossibile. Quindi, un triangolo può avere al massimo un solo angolo retto o un solo angolo ottuso. Gli altri due angoli, per completare i 180°, saranno sempre acuti (minori di 90°).

E così via.