Interno o parte interna di un insieme

L'interno di un insieme \( A \) in uno spazio topologico \( X \) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \( A \). Per indicarlo si usa il simbolo $ Int(A) $ o semplicemente $ A^\circ $.

L'interno, o parte interna di un insieme, è il più grande insieme aperto che è completamente contenuto all'interno di \( A \).

Non esiste un altro insieme aperto contenuto in \( A \) che sia più grande dell'interno di \( A \).

Nota. Questo è garantito dalla definizione stessa, poiché l'interno è l'unione di insiemi aperti. Quindi, è anch'esso un insieme aperto.

Formalmente, posso definire la parte interna dell'insieme A come l'insieme di tutti i punti di \( A \) per i quali esiste un intorno aperto completamente contenuto in \( A \).

$$  Int(A) = \bigcup \{ U \subseteq A : U \text{ è aperto in } X \}  $$

In altre parole, per ogni punto \( x \) nell'interno di \( A \), esiste almeno un insieme aperto \( U \) tale che \( x \in U \subseteq A \).

In ogni caso, è essenziale tenere presente che l'interno di un insieme $ A $ dipende dalla struttura topologica $ X $ che contiene l'insieme A, non dipende dalle proprietà dell'insieme A.  Pertanto, a seconda della struttura topologica $ X $ che ospita l'insieme $ A $, l'interno di $ A $ può cambiare.

Un esempio pratico

Considero l'insieme \( A = [0, 1] \) in \( \mathbb{R} \) con la topologia standard.

Si tratta dell'intervallo chiuso che comprende tutti i numeri reali da 0 a 1 inclusi.

In questo caso l'interno di \( A \) è \( (0, 1) \).

$$ Int (A) = (0,1) $$

Questo è l'insieme aperto più grande di punti tra 0 e 1 che esclude i bordi 0 e 1, che non sono contenuti in alcun intervallo aperto completamente contenuto in \( A \).

Esempio 2

Ora studio l'insieme \( A = [0, 1) \) in \( \mathbb{R} \) con la topologia standard.

Questo insieme comprende tutti i numeri reali da 0 incluso fino a 1 escluso, formando così un intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra.

La parte interna di \( A \) è sempre l'insieme aperto \( (0,1) \), come nell'esempio precedente:

\[ \text{Int}(A) = (0,1) \]

Questo accade perché per la definizione di interno in uno spazio topologico, esso consiste nell'unione di tutti gli insiemi aperti completamente contenuti nell'insieme originale.

Nota. In \( \mathbb{R} \) con la topologia standard, gli intervalli aperti sono la forma base degli insiemi aperti. Quindi, l'unico insieme aperto massimale contenuto in \( [0, 1) \) è \( (0,1) \), dato che non include il bordo chiuso a 0, che non è racchiuso da alcun intervallo aperto contenuto completamente in \( [0, 1) \). Pertanto, \( (0,1) \) rappresenta l'insieme di tutti i punti di \( A \) che possono essere circondati da intervalli aperti completamente contenuti in \( A \), soddisfacendo così la definizione di interno.

Esempio 3

In questo esempio, esamino l'insieme \( A = [0,1) \) quando \( X \) è dotato della topologia discreta.

In uno spazio topologico con topologia discreta, ogni singolo sottoinsieme di \( X \) è considerato un insieme aperto.

Questo significa che ogni elemento di \( A \) può essere circondato da un intorno che è completamente contenuto in \( A \) e consiste in qualsiasi combinazione di elementi di \( A \).

Nella topologia discreta su \( \mathbb{R} \), ogni singolo sottoinsieme di un insieme è considerato un insieme aperto. Questo include non solo tutti gli intervalli aperti o chiusi, ma anche qualsiasi combinazione arbitraria di punti, indipendentemente da come sono distribuiti. Quindi, sono insiemi aperti sia gli intervalli aperti come \( (0,0.5) \), \( (0.25,0.75) \), o \( (0,1) \) che gli intervalli chiusi come \( [0,0.25] \) compresi in $ A=[0,1) $, oltre all'insieme vuoto, e l'intero intervallo \( [0,1) \) stesso.

In particolare, dato che ogni sottoinsieme è aperto, anche \( A = [0,1) \) stesso è un insieme aperto in questa topologia.

Pertanto, l'interno di \( A \) in questo contesto è \( A \) stesso, perché ogni punto in \( A \) ha come intorno aperto un sottoinsieme che include il punto stesso e che è completamente contenuto in \( A \).

$$ \text{Int}(A) = A = [0,1) $$

Quindi, in una topologia discreta, l'interno di un insieme coincide sempre con l'insieme stesso.

Nota. Questo risultato dimostra come la scelta della topologia può influenzare la natura degli intorni e degli interni degli insiemi. Come precedentemente sottolineato, le proprietà di un intorno di un insieme dipendono dalla struttura topologica \( X \) all'interno della quale è definito l'insieme \( A \).

Esempio 4

Considero uno spazio topologico \( X \) composto dai punti \( \{a, b, c\} \), e adotto la topologia discreta su \( X \).

In questo spazio, tutti i sottoinsiemi di \( X \) sono aperti:

  • \( \emptyset \) e \( \{a, b, c\} \) sono aperti per definizione in \( X \) come insieme aperto.
  • I singoli punti \( \{a\} \), \( \{b\} \), \( \{c\} \)  sono aperti perché nella topologia discreta ogni punto è un insieme aperto.
  • I sottoinsiemi formati da coppie di punti, come \( \{a, b\} \), \( \{a, c\} \), \( \{b, c\} \) , sono aperti perché sono unioni di insiemi aperti.

Considero l'insieme \( A = \{b, c\} \) nello spazio topologico \( X \).

Per la definizione di interno, \( \text{Int}(A) \) è l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \( A \).

Gli insiemi aperti contenuti in \( A \) sono \( \{b\} \), \( \{c\} \), e \( \{b, c\} \).

\[ Int(A) = \{b\} \cup \{c\} \cup \{b, c\} = \{b, c\} \]

Quindi, l'unione di questi insiemi aperti è \( \{b, c\} \), che è esattamente \( A \).

In conclusione, vale \( Int(A) = A \).

Nota. Questo risultato non è specifico per l'insieme \( A \); si applica a qualsiasi sottoinsieme \( S \subseteq X \) in uno spazio topologico discreto. L'interno di qualsiasi sottoinsieme è il sottoinsieme stesso. In generale, in uno spazio topologico discreto, dove ogni sottoinsieme è aperto, l'interno di qualsiasi insieme \( S \) è \( S \) stesso, ovvero \( Int(S) = S \).

Il teorema dell'interno di un insieme

Dato un sottoinsieme $ S $ dello spazio topologico $ X $ e un elemento $ y \in X  $, l'elemento $ y $  appartiene all'interno del sottoinsieme $ \text{Int(S)} $ se e solo se esiste un insieme aperto $ U $  tale che $ y \in U \subset S $ $$ y \in \text{Int}(S) \iff \exists \ U \text{ aperto tale che } y \in U \subseteq A $$

Detto in altre parole, l'elemento y∈X per trovarsi nell'intorno dell'insieme S, deve appartenere anche a un insieme aperto U che è interamente contenuto in S.

esempio visivo

Questo teorema stabilisce una condizione necessaria e sufficiente per determinare se un punto y si trova all'interno di un insieme S in uno spazio topologico X.

Dimostrazione

  • Condizione necessaria: Se \(y\) è un elemento dell'interno di \(S\), allora per definizione di interno, esiste un insieme aperto \(U\) in \(X\) tale che \(y\) è in \(U\) e \(U\) è completamente contenuto in \(S\). Questo mostra che se \(y \in \operatorname{Int}(A)\), allora deve esistere tale \(U\). Questo soddisfa la condizione del "solo se" nel teorema.
  • Condizione sufficiente: Se esiste un insieme aperto \(U\) tale che \(y \in U \subset S\), allora per definizione di insieme aperto e per il fatto che \(U\) è contenuto in \(S\),  allora tutti i punti di \(U\), incluso \(y\), devono essere nell'interno di \(S\) perché l'interno di \(S\) è definito come l'unione di tutti gli insiemi aperti contenuti in \(S\). Quindi, l'elemento \(y\) deve appartenere a \(\operatorname{Int}(S)\).

Nota. Questo teorema è utile perché collega direttamente la nozione di insieme aperto con la proprietà di essere all'interno di un insieme, che è centrale per studiare la continuità e altre proprietà topologiche degli spazi.

Esempio

Considero l'insieme \( A = [1, 3] \) dei numeri reali compresi nell'intervallo chiuso da 1 a 3 nello spazio topologico \( \mathbb{R} \) con la topologia standard.

$$ A = [1,3] $$

In pratica, sto considerando tutti i punti della retta da 1 a 3 inclusi.

Provo a determinare l'interno di \( A \) utilizzando il teorema dell'interno di un insieme.

Per trovare l'interno di \( A \), devo identificare un insieme aperto \( U \) tale che \( U \subset A \) e ogni punto in \( U \) appartiene anche a \( \operatorname{Int}(A) \).

  1. Scelta di \( U \)
    Scelgo l'insieme \( U = (1, 3) \) ovvero l'intervallo aperto da 1 a 3 con gli estremi esclusi. Questo insieme è aperto nella topologia standard di \( \mathbb{R} \) perché è un intervallo aperto.
  2. Verifica che \( U \subset A \)
    Osservo che ogni punto in \( U = (1, 3) \) è anche un punto di \( A = [1, 3] \). Non considero i punti estremi \( 1 \) e \( 3 \) poiché \( U \) è aperto e non include i suoi estremi.

Quindi, \( U \) è un insieme aperto ed è completamente contenuto in \( A \), il che significa che tutti i punti di \( U \) sono interni ad \( A \). 

In questo caso, poiché solo gli estremi di $ A=[1,3] $ sono esclusi dall'insieme $ U = (1,3) $, deduco anche che  $ \operatorname{Int}(A) = (1, 3) $.

Nota. Questo risultato mostra che l'interno di \( A \) è l'intervallo aperto \( (1, 3) \). I punti agli estremi \( 1 \) e \( 3 \) non sono inclusi in \( \operatorname{Int}(A) \) perché non esiste alcun intervallo aperto contenente questi punti che sia interamente contenuto in \( A \). 

Le proprietà degli interni

Alcune proprietà relative all'interno di un insieme in uno spazio topologico. Ognuna di queste proprietà mostra una relazione interessante e non sempre intuitiva tra operazioni di base come l'interno, la chiusura, l'unione e l'intersezione in uno spazio topologico.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note aggiuntive

  • Se U è un insieme aperto in X e U ⊆ A, allora U ⊆ Int(A)
    Se \( U \) è un insieme aperto in uno spazio topologico \( X \) e è completamente contenuto in un insieme \( A \), allora \( U \) è anche incluso nell'interno di \( A \). L'interno di \( A \), denotato come \( \text{Int}(A) \), è definito come il più grande insieme aperto contenuto in \( A \). Pertanto, qualsiasi insieme aperto \( U \) che si trova dentro \( A \) sarà automaticamente una parte dell'interno di \( A \).
  • Se A ⊆ B allora Int(A) ⊆ Int(B)
    Se un insieme \( A \) è completamente contenuto in un insieme \( B \), allora l'interno di \( A \) è necessariamente contenuto nell'interno di \( B \). Questo perché qualsiasi insieme aperto contenuto in \( A \) sarà anche contenuto in \( B \). Di conseguenza, l'operazione di formare l'interno preserva l'inclusione tra insiemi.
  • L'insieme A è aperto se e solo se A = Int(A)
    Un insieme \( A \) in uno spazio topologico \( X \) si definisce aperto se coincide con il suo interno. In altre parole, \( A \) è aperto se ogni punto in \( A \) ha un intorno aperto completamente contenuto in \( A \). Pertanto, \( A \) è aperto se e solo se \( A = \text{Int}(A) \), ovvero se contiene tutti gli insiemi aperti che può contenere all'interno di sé.

E così via.

 


 

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