Embedding in topologia
In topologia un embedding è una funzione continua e iniettiva \( f: X \rightarrow Y \) tra due spazi topologici \( X \) e \( Y \), tale che \( f \) induce un omeomorfismo tra \( X \) e la sua immagine \( f(X) \) considerata con la topologia indotta da \( Y \).
Questo significa che un embedding ha tre caratteristiche:
- La funzione \( f \) è continua.
- La funzione \( f \) è iniettiva, cioè non ci sono due punti distinti di \( X \) che vengono mappati sullo stesso punto di \( Y \)).
- L'inversa di \( f \), considerata come una funzione da \( f(X) \) a \( X \), è continua rispetto alla topologia indotta su \( f(X) \).
In altre parole, un embedding preserva la struttura topologica di \( X \) nell'immagine \( f(X) \) in \( Y \), permette di vedere \( f(X) \) come un sottospazio di \( Y \), ossia $ f(X) \subset Y $.
Un esempio pratico
Definisco due spazi topologici:
- Spazio \( X \)
L'insieme \( X = \{a, b, c\} \) con la topologia \( \mathcal{T}_X = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, X\} \) che definisce quali sono gli insiemi aperti in $ X $. - Spazio \( Y \)
L'insieme \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \) con la topologia \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, Y\} \) che definisce gli insiemi aperti in $ Y $.
Definisco una funzione \( f: X \rightarrow Y \) come segue:
$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$
A questo punto verifico le proprietà di un embedding.
1] Continuità di \( f \)
Una funzione $ f:X \rightarrow Y $ è continua (vedi definizione continuità con gli insiemi aperti) se ogni insieme aperto del codominio $ Y $ ha come controimmagine un insieme aperto nel dominio $ X $, ossia si trova nella topologia $ \mathcal{T}_X $.
- \( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal{T}_X \) è aperto in $ X $.
- \( f^{-1}(\{1\}) = \{a\} \in \mathcal{T}_X \) è aperto in $ X $
- \( f^{-1}(\{1, 2\}) = \{a, b\} \in \mathcal{T}_X \) è aperto in $ X $
- \( f^{-1}(\{1, 2, 3\}) = X \in \mathcal{T}_X \) è aperto in $ X $
- \( f^{-1}(Y) = X \in \mathcal{T}_X \) è aperto in $ X $
Poiché l'immagine inversa di ogni insieme aperto in \( \mathcal{T}_Y \) è un aperto in \( \mathcal{T}_X \), la funzione \( f \) è continua.
2] Iniettività
La funzione \( f \) è iniettiva perché mappa ogni elemento di \( X \) in un elemento distinto di \( Y \).
$$ f(a) = 1 \\ f(b) = 2 \\ f(c) = 3 $$
3] Continuità dell'inversa
Ora considero l'immagine di \( f \), che è \( f(X) = \{1, 2, 3\} \subset Y \).
Quindi, la topologia indotta su \( f(X) \) è \( \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}\} \).
Nota. La topologia indotta su un sottoinsieme di uno spazio topologico è definita come la collezione di tutti gli insiemi che sono intersezioni degli insiemi aperti dello spazio originale con il sottoinsieme considerato. In questo caso:
- lo spazio \( Y = \{1, 2, 3, 4\} \) ha la topologia \( \mathcal{T}_Y = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\}, \{1, 2, 3, 4\}\} \).
- L'immagine di \( f(X) \) è \( f(X) = \{1, 2, 3\} \subset Y \).
Quindi, le intersezioni possibili sono:
- \( \emptyset \cap \{1, 2, 3\} = \emptyset \)
- \( \{1\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1\} \)
- \( \{1, 2\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2\} \)
- \( \{1, 2, 3\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\} \)
- \( \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 2, 3\} = \{1, 2, 3\} \) (che coincide con il precedente)
Quindi, la topologia indotta \( \mathcal{T}_{f(X)} \) è: $$ \mathcal{T}_{f(X)} = \{\emptyset, \{1\}, \{1, 2\}, \{1, 2, 3\} $$
Per verificare la continuità dell'inversa ristretta all'immagine \( f^{-1}: f(X) \rightarrow X \) , devo verificare che ogni controimmagine di un insieme aperto in $ \mathcal{T}_X $ sia un insieme aperto nella topologia indotta $ \mathcal{T}_{f(X)} $.
- \( \emptyset \) è un aperto in \( \mathcal{T}_X \), e la sua controimmagine tramite \(f^{-1} \) è \( \emptyset \), che è aperto in \( \mathcal{T}_{f(X)} \).
- \( \{a\} \) è un aperto in \( \mathcal{T}_X \), e la sua controimmagine tramite \(f^{-1} \) è \( \{1\} \), che è aperto in \( \mathcal{T}_{f(X)} \).
- \( \{a, b\} \) è un aperto in \( \mathcal{T}_X \), e la sua controimmagine tramite \(f^{-1} \) è \( \{1, 2\} \), che è aperto in \( \mathcal{T}_{f(X)} \).
- \( X \) è aperto in \( \mathcal{T}_X \), e la sua controimmagine tramite \(f^{-1} \) è \( \{1, 2, 3\} \), che è aperto in \( \mathcal{T}_{f(X)} \).
Quindi, la funzione inversa $ f^{-1} $ ristretta all'immagine $ f(X) $ è continua.
In conclusione, la funzione \( f \) è un embedding tra \( X \) e \( f(X) \) perché è continua, è iniettiva e la sua inversa, limitata all'immagine $ f(X) $, è continua.
Anche se l'immagine di \( X \) sotto \( f \) (\( \{1, 2, 3\} \)) non copre tutto \( Y \), preserva la struttura topologica di \( X \) nell'immagine.
La differenza tra embedding e omeomorfismo
La differenza tra un embedding e un omeomorfismo risiede nel dominio e nell'immagine della funzione e nel modo in cui preservano la struttura topologica.
- Omeomorfismo
Un omeomorfismo è una funzione biiettiva che mappa \( X \) su \( Y \) preservando completamente la struttura topologica di entrambi i spazi. - Embedding
Un embedding è una funzione che mappa \( X \) su \( Y \) in modo da preservare la struttura topologica di \( X \), ma solo nell'immagine \( f(X) \) che è un sottospazio di \( Y \).
In altre parole, mentre un omeomorfismo implica una corrispondenza biunivoca e completa tra due spazi, un embedding riguarda solo una corrispondenza tra \( X \) e un sottospazio di \( Y \), con la struttura di \( X \) preservata all'interno di quel sottospazio $ X \subset Y $.
E così via
